排列組合|ABCDEF六個字母排成一列,請問A在B左方(不一定要相鄰)的組合有幾種?

更新於 發佈於 閱讀時間約 2 分鐘
最近每天都有同學在解題社群提問這類型的問題,有些同學甚至po出解答來提問,表示看了解答卻還是看不懂,畢竟有時候「詳解」也沒辦法完整表達所有觀念。

排列組合是一門龐大的章節,許多人聞排組而色變,但排列組合的本質其實還是「窮舉法」,也就是把全部的可能通通列出來,只是很多地方我們可以透過計算讓窮舉變得更容易一些。

在講解之前,先小小帶一下排列組合的觀念。

  • 「n!」是「n階乘」的意思,也就是1×2×3×......×n
  • 如果n個人排成一列的話,可能的組合數就是n!種。
    (例如4人排一列=4!=1×2×3×4=24種)

理解題意

題目中強調A只要在B的左方就好,可以不相鄰,代表A和B之間可以夾雜其他字母。

例如DACFEB 這樣是可行的。

我們先來算算其他比較常見的情況。

如果題目變成A一定要在B左邊且AB相鄰的話,計算起來會直觀很多,看作是:
AB 五組在排列,組合數為5!=1×2×3×4×5=120種

而如果只看AB相鄰,不在乎左右的話,組合數還要再×2(因為AB可以互換位置)
=240種

接下來切回正題。

題目提到的A在B左方要怎麼處理呢?關鍵的一步就是:將AB視為同物

就是把題目當成A、A、C、D、E、F來排列。

為什麼

題目中出現相同字母的排列稱為「不盡相異物」的排列。
以上述A、A、C、D、E、F為例,我們先將兩個A標記為A1與A2,這樣6個字母排列的組合數=6!=720種。這720種當中,我們挑出其中兩組:

  • C、A2、F、E、A、D
  • C、A1、F、E、A2、D

這兩種情況只有A1、A2位置相反而已,但1和2其實是剛剛標記上去的,事實上這兩個字母都是A,也就是說,我們把C、A、F、E、A、D這種組合不小心算成了種組合。

在題目沒有其他關於CDEF的條件之下,每1種組合都不小心被算成2種,所以最後答案要再除以2!也可以直接記作AA不能排列(2個相同數字所以除以2!)。

再一個為什麼

為什麼固定順序的題型可以當作不盡相異物排列?

是因為題目的「順序」已經終結了他們排列的機會,一樣沿用上面的例子,在ABCDEF任意排列的720種組合當中,取其中兩組來討論:

  • C、B、F、E、A、D-(1)
  • C、A、F、E、B、D-(2)

在CDEF固定的情況下,為符合題意,(1)(2)才符合。

所以每兩組都會有一組是A在B左方、另一組是A在B右方,所以答案要再除以2!,變成360種。

簡潔無廢話版本解答

6個字母→6!

2個字母有順序→除以2!

→6!/2!=360#


小小延伸練習題

題目:一間電視台要播放ABCDEF六部節目,如果A節目一定要在B和C之前播放完畢,請問有幾種播放組合?





答案:240種。

作法:
6個字母→6!
3個字母有順序→除以3!
B和C可交換→乘以2!
→(6!÷3!)×2!=240#

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