黑板上排列組合,你捨得解開嗎?

更新於 發佈於 閱讀時間約 4 分鐘
又回到排組(排列組合)的季節~
記憶中你(學生)驚恐的臉~
我們終於 來到了這時間~
準備好的練習卷
很多都是歷屆
今天老師要教學生最難章節~

(改編自胡夏那些年)

排列組合(與機率,下略),高一下學期的第二章(或第三章),相信是每個人對高中數學最有印象的章節之一,許多經典題目都來自於此,像是"庭院深深深幾許"的排列方式,或是搭船問題與取球問題等等,諸多經典題型通通出自排組這個章節。

4月1號開始本咚到了新公司開始跟課,也就是坐在最後一排跟著高一學生一起上課,除了重新體驗久違的補習生活之外,更重要的是學習團班老師板書的掌握與談吐技巧等等,上課內容恰好也是排列組合,目前跟了兩堂課感覺收穫不少,果然資歷與經驗有著碩大差距,值得多加學習,也正好可以把學到的東西拿來跟自己的家教學生現學現賣。

第一次跟課,台上老師(本咚將來的新老闆)開宗明義就提到:「考排列組合,除非學校老師放水(洩題),不然校平均應該只有40分左右。」後面甚至搬出某學校某年校平均20分的慘烈事蹟。

可能或多或少有些加油添醋的成分,但排列組合之難人盡皆知,不過到底難在哪?要如何學好排列組合呢?本咚試著分類出排組的幾個重點。

有系統的計數(不重複,不遺漏)

先前在舊文章提過階乘的觀念,其實階乘也是一種歸納完畢的「計數」方式。

甚至硬要說,排列組合的每一道題,如果不靠階乘、P(排列)或C(組合),全都用窮舉(一個一個列舉出來)的方式,理應都能完成,不相信的話,可以試試文章最底下的學測題,不需要排列組合的觀念也能求出答案,但如果答案的值成千上萬,窮舉就顯得有勇無謀了,需要從數字比較小的題目開始練習列式與計算,並歸納出方便的計數方式。

例題:A、B、C三人要排成一列,有幾種排法?

如果隨性亂排ABC,BAC等,很容易重複或遺漏,我們可以先把A固定排在第一個位置,這樣後兩個位置只剩下BC,CB兩種方式,改把B排在第一個位置,後兩個位置只剩下AC,CA兩種方式,改把C排在第一個位置,後兩個位置也會只剩下AB,BA兩種方式,於是2+2+2演化成了3×2,最終再演變成3!,這便是數學與生活裡相當常見的以此類推

正面計算/反面扣除

例題:5本不同的書分給ABC三個人,求A至少拿1本的方法數

其實書選人還是人選書也是值得探討的小議題,將來有機會再細講。

因為書一共有5本,從正面(加法)來看的話,A可以拿2本或3本或4本或5本,代表只要把A拿2本~A拿5本的方法數通通加總,就可以找出答案了。

但是很明顯,不太適合,題目已經出現了關鍵字「至少」,代表可以反面來看,視為
全部的方法數-A不拿的方法數=35-25

相鄰與不相鄰

例題:ABCDEF六人排一列,求ABC三人不完全相鄰的排法有幾種?

首先要把相似的名稱進行區分:

  • 完全相鄰
    視為(ABC),D,E,F排列=4!×3!
  • 完全不相鄰
    視為先排_D_E_F_,再從4個空隙裡任取3個位置給ABC三人排列=3!×4×3×2
  • 不完全相鄰
    不完全相鄰從正面看,有三種情況都要計算
    (1)AB相鄰,但C不與AB相鄰
    (2)AC相鄰,但B不與AC相鄰
    (3)BC相鄰,但A不與BC相鄰
    可想而知,這題如果正面做頭都昏了,但細想ABC三人之間的關係,只可能是完全相鄰完全不相鄰不完全相鄰三種情況,所以不完全相鄰的方法數可以視為全部的方法數-ABC完全相鄰-ABC完全不相鄰=6!-4!×3!-3!×4×3×2

答案是多少?練習時不重要,考試或作業要答案的時候再把它算出來就好,更重要的是列式。

排列組合與其它章節的差異

從上述解題過程當中可以發現,最困難的地方就在於如何把文字敘述轉化為算式,除了多算多練習之外,記住一些常見的題型也是一種方法,當然高中數學的其他章節也固然是如此,只是在其他章節中

  • 三角函數、log難在公式多
  • 空間向量難在抽象
  • 數據分析難在計算
  • 多項式難在變化多
  • 微積分難在它叫做微積分

要完全搞懂每一道排列組合的題目,必須要熟記公式、熟練計算,還要練習讀題的技巧,例如看到至少聯想到反面扣除、看到錯位排列要想到排容原理(這個有機會一定要講,超精彩,吼唷真的啦)。因此,很多數學不錯的學生在排列組合栽了跟頭,但相反地,也有些原本數學不好,但數感邏輯不錯的學生在排列組合找到自信,而且排列組合和其他章節的相異性太大,很值得多練習提升手感。

前面提到的題目如下(106學測單選7):

小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇:
牛肉麵大滷麵咖哩飯排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐:
(甲)每天只選一種餐點,但這五天中每一種餐點至少各點一次
(乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則,小明這五天共有幾種不同的午餐計畫?

這是一道經典的問題,當然可以運用排列組合的算法求出答案,也有運用進階公式求出來的漂亮算法,但就算是窮舉,只要掌握有系統、不重複的原則,一樣能求出正確答案。

跟大家分享我的想法以及我的所見所聞 很多事情沒有對錯 多想想 多思考
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一個國中生對於公立和私立學校升學觀唸的思考,反映了學生對於標籤和成績的困惑和無奈。
一名小學生行程滿滿的一週行事曆引起了熱烈的討論。對於這種比大人還要刻苦的生活,到底是成功必經之路,或是變相的揠苗助長,社會上有不同的意見。面對這樣的課程,我們是否應該多從小孩的角度來思考,多聽聽孩子的心聲,提供適合的支持?
大約幾個月前,開始在youtube看到一系列清潔地毯的影片,一片片看起來就像從泥沼中拖出的地毯,在經過不同機器、各種手法操作之下,最終居然都能煥然一新,相當不可思議,對於本33y中年肥宅男而言,這種影片帶給我的舒適感居然不亞於性感辣妹熱舞(修馬蹄也超讚der),甚至這類型影片還不斷推陳出新,出現了s
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數學中的除法常常讓人困惑,特別是為什麼不能除以0,本文以生動的例子與情境來解釋除法的概念,讓讀者更容易理解。
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