黑板上排列組合，你捨得解開嗎？

又回到排組(排列組合)的季節～
記憶中你(學生)驚恐的臉～
我們終於　來到了這時間～
準備好的練習卷
很多都是歷屆
今天老師要教學生最難章節~

(改編自胡夏那些年)

排列組合(與機率，下略)，高一下學期的第二章(或第三章)，相信是每個人對高中數學最有印象的章節之一，許多經典題目都來自於此，像是"庭院深深深幾許"的排列方式，或是搭船問題與取球問題等等，諸多經典題型通通出自排組這個章節。

4月1號開始本咚到了新公司開始跟課，也就是坐在最後一排跟著高一學生一起上課，除了重新體驗久違的補習生活之外，更重要的是學習團班老師板書的掌握與談吐技巧等等，上課內容恰好也是排列組合，目前跟了兩堂課感覺收穫不少，果然資歷與經驗有著碩大差距，值得多加學習，也正好可以把學到的東西拿來跟自己的家教學生現學現賣。

第一次跟課，台上老師(本咚將來的新老闆)開宗明義就提到：「考排列組合，除非學校老師放水(洩題)，不然校平均應該只有40分左右。」後面甚至搬出某學校某年校平均20分的慘烈事蹟。

可能或多或少有些加油添醋的成分，但排列組合之難人盡皆知，不過到底難在哪？要如何學好排列組合呢？本咚試著分類出排組的幾個重點。

有系統的計數(不重複，不遺漏)

先前在舊文章提過階乘的觀念，其實階乘也是一種歸納完畢的「計數」方式。

甚至硬要說，排列組合的每一道題，如果不靠階乘、P(排列)或C(組合)，全都用窮舉(一個一個列舉出來)的方式，理應都能完成，不相信的話，可以試試文章最底下的學測題，不需要排列組合的觀念也能求出答案，但如果答案的值成千上萬，窮舉就顯得有勇無謀了，需要從數字比較小的題目開始練習列式與計算，並歸納出方便的計數方式。

例題：A、B、C三人要排成一列，有幾種排法？

如果隨性亂排ABC,BAC等，很容易重複或遺漏，我們可以先把A固定排在第一個位置，這樣後兩個位置只剩下BC,CB兩種方式，改把B排在第一個位置，後兩個位置只剩下AC,CA兩種方式，改把C排在第一個位置，後兩個位置也會只剩下AB,BA兩種方式，於是2+2+2演化成了3×2，最終再演變成3!，這便是數學與生活裡相當常見的以此類推。

正面計算／反面扣除

例題：5本不同的書分給ABC三個人，求A至少拿1本的方法數。

其實書選人還是人選書也是值得探討的小議題，將來有機會再細講。

因為書一共有5本，從正面(加法)來看的話，A可以拿2本或3本或4本或5本，代表只要把A拿2本~A拿5本的方法數通通加總，就可以找出答案了。

但是很明顯，不太適合，題目已經出現了關鍵字「至少」，代表可以反面來看，視為
全部的方法數－A不拿的方法數=3⁵-2⁵

相鄰與不相鄰

例題：ABCDEF六人排一列，求ABC三人不完全相鄰的排法有幾種？

首先要把相似的名稱進行區分：

• 完全相鄰
  視為(ABC),D,E,F排列=4!×3!
• 完全不相鄰
  視為先排_D_E_F_,再從4個空隙裡任取3個位置給ABC三人排列=3!×4×3×2
• 不完全相鄰
  不完全相鄰從正面看，有三種情況都要計算
  (1)AB相鄰，但C不與AB相鄰
  (2)AC相鄰，但B不與AC相鄰
  (3)BC相鄰，但A不與BC相鄰
  可想而知，這題如果正面做頭都昏了，但細想ABC三人之間的關係，只可能是完全相鄰、完全不相鄰、不完全相鄰三種情況，所以不完全相鄰的方法數可以視為全部的方法數－ABC完全相鄰－ABC完全不相鄰=6!-4!×3!-3!×4×3×2

答案是多少？練習時不重要，考試或作業要答案的時候再把它算出來就好，更重要的是列式。

排列組合與其它章節的差異

從上述解題過程當中可以發現，最困難的地方就在於如何把文字敘述轉化為算式，除了多算多練習之外，記住一些常見的題型也是一種方法，當然高中數學的其他章節也固然是如此，只是在其他章節中

• 三角函數、log難在公式多
• 空間向量難在抽象
• 數據分析難在計算
• 多項式難在變化多
• 微積分難在它叫做微積分

要完全搞懂每一道排列組合的題目，必須要熟記公式、熟練計算，還要練習讀題的技巧，例如看到至少聯想到反面扣除、看到錯位排列要想到排容原理(這個有機會一定要講，超精彩，吼唷真的啦)。因此，很多數學不錯的學生在排列組合栽了跟頭，但相反地，也有些原本數學不好，但數感邏輯不錯的學生在排列組合找到自信，而且排列組合和其他章節的相異性太大，很值得多練習提升手感。

前面提到的題目如下(106學測單選7)：

小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：
牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
(甲)每天只選一種餐點，但這五天中每一種餐點至少各點一次
(乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？

這是一道經典的問題，當然可以運用排列組合的算法求出答案，也有運用進階公式求出來的漂亮算法，但就算是窮舉，只要掌握有系統、不重複的原則，一樣能求出正確答案。