1.2 函數概念小史
二
公元1829年,約翰‧狄利克雷 (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 證明了任一函數的傅利葉級數的收斂性,條件為該函數在某區間具有有限極小值數和極大值數。但另一方面,任一函數皆可用傅利葉級數表述當然是錯的﹔公元1829年,狄利克雷提供了傅利葉級數表述函數所需要的充份條件。公元1837年,狄利克雷給出了他的函數定義﹕
(FD) 讓我們假設,a 和 b 是兩個定值,而 x 是一個變量,逐步承取 a 和 b 之間的所有的值。現在,如果每個 x 以以下方式對應一個獨特的,有限的 y﹕當 x 連續從 a 通向到 b,y=f(x) 同樣逐步變化﹔那麼,y 稱為此區間的連續 ... 函數。[Rüthing 1984: 74]
假如我們將 (FD) 中的「連續」一詞打上括號,這個定義就是說,y 是變量 x 的函數,定義區間為 (a, b),即 a<x<b,也就是說,y 的值因應此區間的變量 x 的每一個值而變動。
最值得注意的地方是 (FD) 明確將函數的域 (或定義域) 限定在一個區間。
過去,自變元是容許跨越整個實數域的。
這個定義突出了函數不一定適用於包含一切的域,而明確給定的定義域是準確界定一個函數必需的條件。
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待續