上古漢語的邏輯結構 043

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

• 1.2.1 中譯的來源
• 1.2.2 一個速度問題
• 1.2.3 幾何的方法
• 1.2.4 微積分的記法
• 1.2.5 弦的振動
• 1.2.6 熱的傳導
• 1.2.7 十九世紀的尾聲

公元1829年，約翰‧狄利克雷 (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 證明了任一函數的傅利葉級數的收斂性，條件為該函數在某區間具有有限極小值數和極大值數。但另一方面，任一函數皆可用傅利葉級數表述當然是錯的﹔公元1829年，狄利克雷提供了傅利葉級數表述函數所需要的充份條件。公元1837年，狄利克雷給出了他的函數定義﹕

(F_D) 讓我們假設，a 和 b 是兩個定值，而 x 是一個變量，逐步承取 a 和 b 之間的所有的值。現在，如果每個 x 以以下方式對應一個獨特的，有限的 y﹕當 x 連續從 a 通向到 b，y＝f(x)  同樣逐步變化﹔那麼，y 稱為此區間的連續 ... 函數。[Rüthing 1984: 74]

假如我們將 (F_D) 中的「連續」一詞打上括號，這個定義就是說，y 是變量 x 的函數，定義區間為 (a, b)，即 a＜x＜b，也就是說，y 的值因應此區間的變量 x 的每一個值而變動。

最值得注意的地方是 (F_D) 明確將函數的域 (或定義域) 限定在一個區間。

過去，自變元是容許跨越整個實數域的。

這個定義突出了函數不一定適用於包含一切的域，而明確給定的定義域是準確界定一個函數必需的條件。

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待續