上古漢語的邏輯結構 048

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

1.3 弗雷格的函數概念

三

弗雷格認為這樣的一個定義 —— 即李善蘭從德摩根借來的函數定義 —— 不能接受，因為它「沒有區別外型與內容﹑記號與所記 ...」⁴³。

美國邏輯學家奎因 (WVR Quine: 1908-2000) 的《數理邏輯》(Mathematical Logic 1940) 在哲學和邏輯的圈子內普及了使用 (use) 和提及 (mention) 兩個必須區分的概念，並且追溯到弗雷格的《算術的基本法則》(Die Grundgesetze der Arithmetik ﹔1893)，指出是弗雷格首先使用引號以避免混淆使用和提及兩個概念 [Quine 1940: §4 & 26]。

其實對於記號與記號內容兩者的區分，弗雷格出版于1884年的《算術基礎》(Die Grundlagen der Arithmetik) 便早注意到此區別的重要性。

而在1891年的〈函數與概念〉一文中，弗雷格正式要求區分上述的兩個概念，並且非常嚴謹地使用引號，只不過他沒有使用奎因的術語。他用的是「外型」(Form) 和「內容」(Inhalt)⁴⁴，及「記號」(Zeichen) 和「所記」(Bezeichnete)。

當某「Z」被視為一個記號，我們關注的是「Z」的外型﹔當我們關注的是「Z」的內容，我們實在是使用「Z」。

在很多情況下，弗雷格原來的術語比奎因後來的術語準確得多。

弗雷格繼續在這個思路上前進﹕如果 2．2³＋2 不能說是 2 的函數，那麼 2．2³＋2 是什麼﹖

僅僅一個表式只是某內容的外型，不是問題的核心，所以弗雷格認為我們應該問﹕什麼是「2．2³＋2」的內容﹖

或許有人以為 2．2³＋2＝18，所以 18 就是「2．2³＋2」的內容。這是最嚴重的一個錯誤。因為「18」﹑「16＋2」或「2．2³＋2」都是表式，也就是外型。「2．2³＋2＝18」等式表達的是左邊比較複雜的記號和右邊比較簡單的記號有相同的指謂 (或指稱) (Bedeutung)⁴⁵。

有一個觀點認為 18 和 2．2³＋2 相等但不一樣，同樣來自對外型和內容的混淆。兩個不同的記號不足以證明所指謂之物有別。弗雷格批評公元十九世紀 (德國數學界﹖) 的一個傾向﹕這個傾向認為感官感受不到的就不能視為對象物 (Gegenstand)⁴⁶。

上述兩個普遍的觀點造就一個結果﹕誤將數字視為數。一旦將數字視為數，我們便被逼接受一個荒唐的結論，即凡有新的數字便是一個新數，於是「18」是一個數，「2．2³＋2」是另一個數，而用漢語表達的「十八」則又成另一個新數。因此我們必須辨別作為記號的數字和它的指謂。

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⁴³ "... weil dabei Form und Inhalt, Zeichen und Bezeichnetes nicht unterschieden werden…"。

⁴⁴ 德語的「Form」不應翻作「形式」，因為弗雷格視它為裝載內容的記號。在這個意義下，「型」最恰當不過，因為「型」有鑄造器物的模具的意義，故「型」可用來視為裝載內容的器具。相對於翻譯「Inhalt」的「內容」，我將「Form」翻譯為「外型」，一內一外，使成一對相關的概念。

⁴⁵ 德語「Bedeutung」為名詞，來自動詞「bedeuten」，而後者的語源為「be」+「deuten」。「Be」為不可分割的前綴 ，意指觸及或提及某對象﹔「deuten」為動詞，有指向﹑指示﹑詮釋﹑解釋等義。顯然，作為動詞的「bedeuten」的主要含義為指向某對象或提及某對象 (作為一個詮釋或解釋)。在這個語源基礎之上，弗雷格沒有賦予「Bedeutung」新的技術意義。在他的數學哲學裡，他只不過重新提出了「Bedeutung」被遺忘的原義。因此將「Bedeutung」翻譯作「指謂」是適當的。

⁴⁶ 德語有「Gegenstand」和「Objekt」兩個詞，英語一律譯作「object」。弗雷格的著作中用的主要是「Gegenstand」。照字面解，「Gegenstand」就是相對 (gegen) + 站立/位於 (stand/stehen) 的意思，略為引申，就是對立之物的意思，故譯作「對象物」是無容置疑的。「Objekt」可譯作「物」或「物象」。漢語有「事物」一詞，正好配對德語的「Sache」(事) 和「Objekt」(物)。

待續