The Nature of Code閱讀心得與Python實作：1.4 More Vector Math

pygame的Vector2()、Vector3()支援許多向量的運算，例如

vec + vec
vec - vec
vec * number
number * vec
vec / number
vec // number
vec += vec
vec -= vec
vec *= number
vec /= number
vec //= number
round(vec, ndigits=0)
vec * vec 等同於 dot()
cross()
magnitude() 等同於 length()
normalize()
scale_to_length()

更多更詳細的向量運算，可查閱pygame的說明文件。

接下來，就來看看向量的減法、乘法、除法實際上是怎麼計算的。

先來看向量的減法。假設

u = (u_x, u_y)
v = (v_x, v_y)

則

u - v = u + (-v) = (u_x, u_y) + (-v_x, -v_y) = (u_x - v_x, u_y - v_y)

因為-v是個大小和v相等，但方向相反的向量，所以，減掉一個向量，其實就是加上一個方向相反的向量而已。

下面這個例子，是要在滑鼠游標位置和畫面中心點間畫出直線，而這條直線所代表的，就是畫面中心點到滑鼠游標位置的向量。
Example 1.3: Vector Subtraction

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0
       
pygame.init()


pygame.display.set_caption("Example 1.3: Vector Subtraction")

BLACK = (0, 0, 0)
GRAY = (180, 180, 180)
WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = WIDTH, HEIGHT = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

center = pygame.Vector2(WIDTH//2, HEIGHT//2)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    mouse = pygame.Vector2(pygame.mouse.get_pos())

    pygame.draw.line(screen, BLACK, center, mouse, 5)
    pygame.draw.line(screen, GRAY, (0, 0), center, 5)
    pygame.draw.line(screen, GRAY, (0, 0), mouse, 5)
    
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

這個例子在原書中的做法，是使用向量減法算出從畫面中心點到滑鼠游標位置的向量，接著將座標系統的原點平移到畫面中心點，最後畫出新的原點到向量間的直線。因為pygame並沒有轉換座標系統的函數可供使用，所以就直接畫出從畫面中心到滑鼠游標位置的線段。這個例子，對pygame而言，並不是那麼適合用來展現向量減法的用途和好處。

接下來介紹向量的乘法。

向量的乘法指的是向量乘上一個實數，也就是縮放向量的大小。假設要把u縮放α倍，做法如下：

u × α = (u_x, u_y) × α = (u_xα, u_yα)

這也就是說，要縮放向量，只要同時把各個分量乘上相同的縮放倍數就可以了。

向量乘法滿足交換率、結合律和分配率(distributive rule)：

交換率：u × α = α × u
結合律：(α × β) × u = α × (β × u)
分配律：
(α + β) × u = α × u + β × u
(u + v) × α = u × α + v × α

下面這個例子，是從畫面中心點到滑鼠游標位置畫出一條線段，然後將其縮短1/2。

Example 1.4: Multiplying a Vector

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 1.4: Multiplying a Vector")

BLACK = (0, 0, 0)
GRAY = (180, 180, 180)
WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = WIDTH, HEIGHT = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

center = pygame.Vector2(WIDTH//2, HEIGHT//2)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    mouse = pygame.Vector2(pygame.mouse.get_pos())
    
    pygame.draw.line(screen, GRAY, center, mouse, 3)
    
    endpoint = center + 0.5*(mouse - center)
    pygame.draw.line(screen, BLACK, center, endpoint, 5)
    
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

程式的重點在於端點的求法。以向量的觀點來看，端點為

endpoint = center + 0.5*(mouse - center)

如果純粹以座標的觀點來看，端點為

endpoint = 0.5*(mouse + center)

事實上，這兩個不同觀點算出來的，是一模一樣的東西，只是呈現的方式不同罷了。

結束這節前，也來看一下除法的計算方式。和乘法一樣，除法的計算方式也是依各分量分別計算就可以了，也就是說

u / α = (u_x, u_y) / α = (u_x/α, u_y/α)

除法和乘法其實是一體兩面，因為

u / α = (1/α)×u