大學微積分題解-Improper Integrals(1)

更新於 發佈於 閱讀時間約 1 分鐘

前導

Improper Integrals反常積分)是指上下限或 integrand 函數本身有無窮或不連續點的定積分。它不能用一般積分方式直接處理,而是透過極限來定義。

現在請觀察下圖: 這些無限曲線下的面積是有限的嗎?

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答案是有的,為此,我需要先提到定義。

定義

  • 若函數 f(x) 在區間 [a,∞) 上連續,則有:
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  • 若函數 f(x) 在區間 (−∞,b] 上連續,則有:
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  • 若函數 f(x) 在整條實數軸 (−∞,∞) 上連續,則有:
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    • 其中 c 可以是任意實數(通常選擇方便的點如 c=0)。

簡單範例

請看題目:

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這裡使用分部積分法,設:

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帶入分部積分公式得:

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算出結果:

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再來取極限(b→∞):

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因為:

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所以最終答案為: 積分收斂,面積具有有限值 1

範例2

計算:

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回到定義,我們可以將上式寫為:

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這邊,我提供一下示意圖供讀者參考:

raw-image

然後讀者可以注意,此題目被積分的函數,其實符合偶函數的定義,也就是說,我們只要計算出一邊的值,再乘以2就好了。

接下來評估右側某一個積分式:

對於:

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這形式是不是有點熟悉:

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最後再參考此圖形:

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可以算出:

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最後再乘以2得到答案:

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範例3

現在請看下圖:

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假設 p≠1,那我們先計算:

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接著取極限 b→∞:

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現在觀察:

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現在如果考慮 p=1 呢,那就是:

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所以 p=1 時積分也發散

所以總結後:

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本頻道持續更新中(內容涵蓋前端程式設計入門、大學必備程式設計入門、電子系專業課程入門、數學微積分題解)如果身旁有相關科系的學生,不妨推薦一下喔~

相信這裡會是家教或線上課程之外,高中、大學生系統性綜合學習的好選擇。

最後感謝您的觀看!

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