前導
Improper Integrals（反常積分）是指上下限或 integrand 函數本身有無窮或不連續點的定積分。它不能用一般積分方式直接處理，而是透過極限來定義。
現在請觀察下圖: 這些無限曲線下的面積是有限的嗎？
答案是有的，為此，我需要先提到定義。
定義
- 若函數 f(x) 在區間 [a,∞) 上連續，則有:
- 若函數 f(x) 在區間 (−∞,b] 上連續，則有:
- 若函數 f(x) 在整條實數軸 (−∞,∞) 上連續，則有:
- 其中 c 可以是任意實數（通常選擇方便的點如 c=0）。
簡單範例
請看題目:
這裡使用分部積分法，設:
帶入分部積分公式得:
算出結果:
再來取極限（b→∞）:
因為:
所以最終答案為: 積分收斂，面積具有有限值 1。
範例2
計算:
回到定義，我們可以將上式寫為:
這邊，我提供一下示意圖供讀者參考:
然後讀者可以注意，此題目被積分的函數，其實符合偶函數的定義，也就是說，我們只要計算出一邊的值，再乘以2就好了。
接下來評估右側某一個積分式:
對於:
這形式是不是有點熟悉:
最後再參考此圖形:
可以算出:
最後再乘以2得到答案:
範例3
現在請看下圖:
假設 p≠1，那我們先計算:
接著取極限 b→∞:
現在觀察:
現在如果考慮 p=1 呢，那就是:
所以 p=1 時積分也發散
所以總結後:
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最後感謝您的觀看!
