前導
為了定義極座標系，我們首先固定一個原點 O（稱為極點），並從 O 引出一條初始射線（如下圖）。通常會選擇正 x 軸作為初始射線。
接著，每個點 P 都可以用一組極座標 (r,θ) 來表示，其中:
- r 是從 O 到 P 的有向距離，
- θ 是從初始射線到射線 OP 的有向角度。
觀念釐清
就如同在三角學中，角度 θ 如果是逆時針方向量測則為正值，若是順時針方向量測則為負值。
一個點所對應的角度並不是唯一的。雖然平面上的一個點只有唯一一組直角座標，但它卻有無限多組的極座標表示方法。
例如: 從原點出發，沿著
其極座標為:
但這個點也可以表示成
見下圖:
在某些情況下，我們也會允許 r 為負值，這就是為什麼極座標的定義中會提到有向距離。
例如，點
可以這樣到達:
但這個點也可以這樣表示:
見下圖:
好，現在請你想想，當我們對極座標「固定一個變數、讓另一個變數變化時」所畫出的圖形應該會是:
- 固定 r：畫出的是圓。
- 固定 θ：畫出的是直線。
我們來練習幾題極座標的繪製看看:
三題圖形由上到下分別繪製如下:
- 注意: 第三題對 r 並沒有限制。
極座標與直角座標的轉換公式
當我們在同一平面中同時使用極座標與直角座標時，會將兩者的原點對齊，並將極座標的初始射線設定為直角座標的正 x 軸。
此時，在這樣的設定下，見下圖:
極座標與直角座標之間可以用以下公式進行轉換:
這些公式讓我們可以在兩種座標系統之間來回轉換，舉例來說:
例如:
給定下列圓方程式，我們要找出它的等校極座標表達式:
這時只要我們套用剛剛的轉換公式:
步驟 1: 展開平方項:
步驟 2: 兩邊消去 9:
步驟 3: 代入極座標轉換公式得到:
步驟 4: 因式分解:
所以有兩種情況:
