(本文是JAN 22 2025作者在痞客邦投稿的文章,事後發覺谷歌搜尋不著故在方格子重新發表)
〈空間理論篇〉晶格頂點棱數與空間次元等值說
晶格頂點配位數(=棱線數)與空間秩級(次元)等值說是筆者個人觀點，而且有條件限制，僅适用柏拉圖立體和衍生的五角化十二面体以及它的對偶体截廿面体。截廿面体也就是碳60球体(足球形)，它是由20個六方和12個五方共构的形狀，可以理解為它是20個六方拼湊的圓球形，五方只是拼湊以後留下的開口形狀。五角化十二面体是由60個形似三方的等腰三角形拼湊而成的形狀，雖然不是完美的三方拼湊但是只有一种基本單位，建构條件和柏拉圖立体是類似的，因為遷就圓球特殊條件因而喪失柏拉圖立體資格。筆者認為五角化十二面体和截廿面体屬於"泛柏拉圖立體"可以納入空間理論架構的成員當作典型晶格形狀討論。
第壹節〈四面体〉-2維
-2維泛指四個頂點的形狀，包括四邊形、偏四面体和正四面体，四邊形是+2維的形狀，可以想像四個頂點不在同一個平面，是比偏四面体更扁平的四面体，根据全像原理，等同於四邊形。偏四面体是-2維，表示兩個平面鈍角共构。四邊形每個頂點配位數2它的秩序2，+2維。正四面体每個頂點配位數3，秩序3，+3維。偏四面体和正四面同樣有四個頂點，偏四面体每個頂點都有兩個較近的配位數，一個較遠的配位數，較近(遠)的配位數秩序取1(0.5)，所以它的秩序2.5。四邊形秩序2，正四面体秩序3，偏四面体秩序2.5，三种形狀的秩序平均值2.5表示2.5維，相當於-2維。如下圖：
第貳節〈六面体和正八面体〉+3/-5維
若說晶格頂點配位數與空間秩級等值，直線形有兩個端點，每個端點有一個配位數，秩級1故屬+1維。四邊形每個頂點有兩個配位數，秩級2故屬+2維。四面体的配位數和秩級已如上段所言平均值2.5，-2維。立方體每個頂點有三個配位數，秩級3所以是+3維，可是正八面体是立方體的對偶，按理它的頂點配位數應該也是3，事實上正八面体每個頂點的配位數4，應屬+4維。
上述問題的解決方案，秩級相當於空間次元的維度，但是只能當作平均值是如此，因為每种正多面体通常會有它的對偶体，所以認為對偶体的次元屬性屬於同一等級，兩者的秩級平均值相當於它們的次元等級。
按照上述觀點推理，根据共构法則觀點，立方體和正八面体的秩級是3和4，秩級平均值3.5，不符合理論預期，正十二和正廿面体的情形也不符合，因此為了配合理論有必要修改前提，認為根據對稱律，對偶体可能存在一种"封閉形"和"開口"的形狀對稱關係，而且左邊的晶格若是ｎ方形拼湊的三維封閉形，右邊的晶格則為開口的ｎ方棱錐体。
立方體和正八面体是一組對偶，共构法則的觀點屬於+3/-5維的等級，正八面体若當作表格右邊有開口的正方棱錐体，那麼這樣的形狀有兩种頂點，錐体的頂點秩級4，錐口的頂點秩級3，一般情況忽略數量的比重關係，僅取兩种秩級的平均值3.5作為正八面体的代表秩級。正八面体是八個三方組合的正多面体，對半分割的形狀是正方棱錐体，因此正方棱錐体可以認為是一种有開口的形狀，開口的面是正方形的剖面，它更像是四個三方拼湊的金字塔形，空心，底部的正方形是虛面，這樣的描述比較符合開口形狀的事實。
有開口的正方棱錐体是金字塔形，也就是正八面体對半分割的形狀，体心立方晶格連接每個頂點和中心原子可以得到上下左右前後六個全等的金字塔形，因此正方棱錐的体積是立方體的1/6，1/6是六倍關係，從等分法則觀點是+3/-5維，恰好符合立方體和正八面体這一組對偶的次元屬性，或說立方體的次元屬性+3，正八面体的次元屬性-5。
正八面体其實有更簡約的取代晶格就是正方棱錐体，正方棱錐体是一頭尖的形狀，也就是梭形，梭形從共构法則觀點是-0維形狀，-0和-5的平均次元+3亦符合正八面体的次元屬性。正八面体對半分割的形狀是正方棱錐体，從等分法則觀點，1/2是兩倍關係，次元屬性-1，-1是+3的四和共生次元，+3是正八面体的次元屬性，正方棱錐的兩倍体積是正八面体，六倍体積是立方體，這樣的分析結果完全符合理論預期。如下圖：
3×2-3.5 = 2.5，若要符合理論預期，立方體的秩級應為2.5，不是3，立方體的秩級平均值2.5是有可能的，因為立方體屬於六面体，假定六面体有2、2.5、3三种秩級，平均秩級就是2.5。秩級2.5的六面体是什麼形狀呢？
四方晶格(又名正方或長方晶格) a=b＜＜c α=β=γ=90⁰，正方棱柱形晶格高度c遠大於正方形邊長a&b，單位晶格每個頂點有兩個近配位數秩級2，遠配位的另一個頂點秩序取0.5，每個頂點雖然有三個配位數，但是它的秩級僅有2.5。如下圖：
第二种情況，扁方體a=b＞＞c α=β=γ=90⁰，正方棱柱形晶格高度c遠小於正方形邊長a&b，單位晶格每個頂點有一個近配位數秩級1，遠配位有兩個頂點秩級取0.5×2=1，每個頂點雖然有三個配位數，但是它的秩級僅及2。如下圖：
第三种情況是立方体，a=b=c，α=β=γ=90⁰單位晶格每個頂點有三個等距配位數秩級3。如下圖：
以上三种情況的秩級平均值(2.5+2+3)/3=2.5，因此六面體的秩級平均值可以當作2.5，符合理論預期。正方棱錐体的所有棱線等長，四個三方面積全等，六面體的棱線長度不是全部等長，六個平面面積也不全等，因為正方棱錐是-5維，六面體是+3維，從負維法則觀點，正次元是不均等的形狀，負次元是均等的形狀，因此會有上述差異，六面体屬於正次元所以可以導出平均秩級2.5的結果，若六面体一律以立方體看待，它的秩級3與正方棱錐的秩級3.5或正八面体秩級4平均的結果是3.25和3.5，兩种結果都不符合理論預期。
第參節〈正十二和廿面体〉+5/-3維
共构法則十二和廿面体這組對偶歸類為+5/-3的次元屬性，十二面体當作+5維，廿面体當作-3維，正次元是封閉形所以十二面体每個頂點有三個配位數，秩級3。如下圖：
廿面体是-3維，負次元是有開口的形狀，從等分法則觀點，-3維是四等分，廿面体有20個三方平面，20/4=5，五個三方平面拼湊的形狀是五方稜錐形，因此以五方稜錐作為廿面体的基本單元，五方棱錐体有一個傘狀結构開口是正五角形，符合理論要求。如下圖：
五方稜錐形中心點配位數和秩級都是5，周邊的頂點秩級3，平均秩級4，正十二面体秩級3，因此十二和廿面体的秩級平均值3.5等於3.5維，3.5維相當於-3維，符合理論預期。假定十二面体是-3維，那麼-3維是四等分，12/4=3，三個五方拼湊的形狀不規則，不屬於任何一种正多邊形，不規則形狀表示它屬於正次元。
若是十二和廿面体都是封閉形或者十二面体是有開口的形狀，廿面体是封閉形計算的平均秩級都不符合理論預期，唯有上述觀點十二面体是封閉形，廿面体是有開口的形狀計算的平均秩級才能符合理論預期。十二和廿面体都是有開口形狀計算的平均秩級符合理論預期，但是它不符合理論架構正多面体對偶是一個封閉形另一個有開口的條件。
假定泛柏拉圖立体的所有類型都是有開口形狀為其基本單元，那麼截廿面体和五角化十二面体這一組會出現平均秩級不符合理論預期的結果，這樣的結果暗示泛柏拉圖立体的所有類型都是有開口形狀為其基本單元的假設是錯的。
十二面体由12個五方平面拼湊而成，假定每個平面塞進一個圓球就是球緊密形狀，12個圓球球緊密堆積的形狀是+5維的形狀，因為它有一個厚殼籠球形，共构法則關於十二個球体共构的球緊密形狀次元屬性+5有詳盡論述，所不同者，這裏12個球塞進12個三方平面，共构法則12個球當作廿面体的12個頂點，其實是同樣的意義，只是位置不同所以稱呼方式顛倒，共构法則(此處)12面体當作-3(+5)維，20面体當作+5(-3)維。
第肆節〈五角化十二面体和截廿面体〉+4/-4維
五角化十二面體是將正十二面體的每個正五邊形面替換為五角錐後所形成的球體，12個五方稜錐拼湊而成的球体，這是一种封閉形球体所以是表格左邊+4維的等級。截廿面体也就是碳60球体(足球形)，是正廿面体12個頂點截角的形狀，它是由20個六方和12個五方共构的形狀，可以理解為它是20個六方拼湊的圓球形，五方只是拼湊以後留下的開口形狀，有開口的形狀次元屬性因此歸類為-4。每個頂點有三條棱線銜接所以秩級3，如下圖：
五角化12面体的頂點配位數5所以秩級5，但是這种晶格還有另一种不等邊的六角形結构，秩級6，如下圖：
因此五角化12面体的秩級應是5和6的平均值5.5。截廿面体每個頂點的配位數都是3所以它的秩級3，截廿面体和五角化12面体的秩級平均值是(3+5.5)/2=4.25，秩級4是+4維，秩級5是+5維，因此秩級4.5應屬-4維，秩級4.25介於秩級4和4.5之間理應兼具+4和-4雙重次元特性，+4恰好符合五角化12面体的次元屬性，-4則符合截廿面体的次元屬性。
第伍節〈泛柏拉圖立體頂點棱數與空間秩級關係表〉
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