📘《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向 2035 年太空星鏈網路時代》
📘 第 3 周 🎶 電波的語言：調變、編碼與 6G 高頻革命
28／100 單元：Polar Code ❄️
5G 上行的前沿技術 × Channel Polarization 革命**
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🌟 一、單元導讀｜為什麼 Polar 在 5G 如此關鍵？
Polar Code（極化碼）是第一個被數學證明能 達到香農容量 的實碼（practical code）。
在 5G NR 中，它是 上行控制訊號（PUCCH/PUCCH-control） 的必選 FEC。
為什麼？
因為上行控制通道特性是：
✔ 短封包（20–100 bits）
✔ 高可靠度 URLLC
✔ 覆蓋弱（上行功率小）
✔ 必須在低 SNR 切出可用碼
Polar Code 就是為此而生：
👉 短碼長表現極強
👉 低 SNR 下 BER 最佳，優於 LDPC
👉 結構簡潔，可依需求調整碼率
總結一句話：
📌 5G 下行靠 LDPC，5G 上行靠 Polar。
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🧠 二、Polar Code 的核心：Channel Polarization
Polar Code 的魔法來自一個突破性的概念：
⭐ Channel Polarization（通道極化）
把一個通道複製並組合後，
會出現兩種極端的子通道：
✔ 完美通道（可靠度 → 1）
✔ 垃圾通道（可靠度 → 0）
通道愈極化 → 某些 bit 完美可傳 → 某些 bit 必定錯。
Polar Code 的技巧就是：
👉 把資料放在「好通道」
👉 把固定的 Frozen Bits 放在「壞通道」
利用數學能證明：
📌 隨著碼長變大（N → ∞），可用通道路徑比例趨近香農容量 C。
Polar Code 是唯一可證明「達容量」的碼。
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🔧 三、Polar 的編碼方式（F ⊗ F 低三角矩陣）
Polar 的編碼矩陣具有非常漂亮的遞迴結構：
F = [1 0
1 1]
Polar 編碼矩陣 = F 的 Kronecker power：
G_N = F ⊗ F ⊗ F ... （log₂ N 次）
例如 N = 8 時：
G_8 =
1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
...
Polar 的精髓：
📌 固定位置當 frozen bits（設為 0）
📌 好位置放資訊 bits
📌 用 G_N 編碼
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🚀 四、Polar 解碼：SC / SCL / CRC-SCL
Polar 的最強武器是它的“可調式解碼器”。
① SC（Successive Cancellation）
最原始、最輕量的算法。
逐 bit 判定：
• frozen bit → 直接 0
• info bit → 用 LLR 判定
速度快但性能一般。
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② SCL（Successive Cancellation List）
性能大躍進版。
SC 只保留 1 個路徑，
SCL 保留 L 條路徑：
L = 8, 16, 32
L 越大性能越好。
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③ CRC-SCL（5G 標準）
加入 CRC，確保選到“正確路徑”。
📌 這是 5G 上行控制訊號使用的解碼方式。
在短碼長下，CRC-SCL 絕對霸主。
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📡 五、為什麼 5G 上行一定用 Polar，而不用 LDPC？
因為上行控制通道的特性：
• Polar 在短碼長下性能遠優於 LDPC（最關鍵因素）
• 上行功率低 → Polar 在低 SNR 的可靠度更高
• Polar 解碼複雜度較低，適合 UE 端的有限運算能力
• LDPC 在短碼長表現差，容易出現 error floor
• LDPC 適合大頻寬、高吞吐量（下行 data channel），不適合短封包控制訊號
• Polar 對上行 URLLC/控制訊號的需求（短、穩、可靠）最對應
🔑 決勝點：短碼長性能（Polar >> LDPC）
LDPC 在長碼長、eMBB 下行吞吐量最高；
Polar 在短碼環境下壓倒性勝出，因此成為 5G 上行控制通道（PUCCH / PUSCH UCI）唯一選擇。
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Polar 則是短碼王者，尤其配 CRC-SCL 後：
📌 短碼長性能 > Turbo > LDPC → Polar 完勝
所以：
✔ PUCCH（上行控制）
✔ PUSCH small block
✔ RRC / paging response
必用 Polar。
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🛰️ 六、Polar 在 6G、LEO NTN 的潛力
6G 會更加倚重 Polar，原因：
✔ Ultra-reliable 10⁻⁵～10⁻⁷ BER
✔ OTA AI model 傳輸小封包
✔ 控制訊號/beam sweeping 都是短封包
✔ LEO 衛星 uplink SNR 偏低，非常合適
在 NTN 上行，Polar 可能取代 Turbo 成為 URLLC 的主流。
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🔍 七、ASCII：Polar 編碼示意（Butterfly Structure）
u1 ──┐ ┌── x1
├ + ──┤
u2 ──┘ └── x2
u3 ──┐ ┌── x3
├ + ──┤
u4 ──┘ └── x4
這個圖示展示 Polar Code 編碼器中典型的「蝶形（butterfly）結構」，形式上與 FFT 的訊號合併方式非常相似。比特在每一層透過加法（XOR）與分支操作進行遞迴式組合，使整個編碼流程可以以階層化、平行化方式實作。正因為這樣的蝶形架構，Polar 能在 低複雜度、可平行、可流水線化 的硬體條件下完成編碼，是其適合 5G 上行控制通道的重要原因。
這種「蝶形結構」與 FFT 非常像，
也是 Polar 能低複雜度實作的重要原因。
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📝 八、小測驗
（1）Polar Code 的核心理論是？
➡ Channel Polarization（通道極化）理論。
透過遞迴的蝶形結構，將一組通道「極化」成品質極好與極差的兩類，再利用好通道傳資訊、壞通道填入凍結位元，使整體編碼容量逼近香農極限，是 Polar 的數學基礎。
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（2）5G NR 哪裡使用 Polar Code？
➡ 用於上行控制通道（PUCCH / PUSCH UCI）與下行控制通道 PDCCH。
這些控制訊號封包短、功率低、需要極高可靠性，因此 Polar 尤其適合；而高吞吐量的數據通道則交給 LDPC。
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（3）CRC-SCL 的用途？
➡ 在 SCL 多條候選路徑中利用 CRC 做最終選擇，顯著提升短碼長的解碼正確率。
CRC 等於替解碼器多加一層「檢查門檻」，使 SCL 的最佳候選更容易被挑出，是 5G 控制碼可達標的關鍵技術。
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（4）Polar 和 LDPC 的主要差異？
➡ Polar：短碼性能極佳、適合控制訊號。LDPC：長碼吞吐量高、適合大型 data channel。
Polar 依賴通道極化與序列式解碼；LDPC 則依賴稀疏奇偶矩陣與 BP 迭代。兩者在 5G 中清楚分工，互補而非競爭。
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（5）Polar 解碼的三種方式？
➡ SC、SCL、CRC-SCL。
• SC：最低複雜度，但性能一般。
• SCL：在多條候選路徑中選擇最佳，性能提升明顯。
• CRC-SCL：加上 CRC 過濾後，短碼長性能接近最佳化，是 5G 的標準方法。
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（6）為什麼短碼封包要用 Polar？
➡ 因為 Polar 在短碼長（例如幾十～數百 bit）時，BER 明顯優於 LDPC，且解碼功耗更低、延遲更小。
上行 UE 端本身功率有限，加上控制封包極短，Polar 的短碼優勢幾乎壓倒性；LDPC 在此碼長區間則容易出現性能下降與 error floor。
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🌟 九、小結：Polar 是 5G 控制通道的“極化之王”
Polar Code 不只是數學突破的奇蹟，
也是首次把「證明可達香農容量的編碼」帶入真實行動網路的技術。
它在短碼長、低 SNR 的性能無可取代，
讓 5G 上行控制訊號在劣勢條件下仍能穩定傳輸。
一句話：
Polar 是 5G 控制通道的王者，也是 6G URLLC 的核心未來。
