— 如果你剛開始學反射與折射，可以先把「界面」想成一個嚴格的關卡：波一到邊界，E、H 不能隨便跳號，必須符合連續的規矩。當兩側材料不同時，光靠一條透射波常常無法同時滿足這些規矩，所以系統會自然「補出一條反射波」來把帳結平；而折射角則是因為界面上相位必須對齊，傳播方向被幾何關係強迫改變。本單元會用這個直覺，把反射（多少）與折射（往哪裡）分清楚。
🎯 單元學習目標
完成本單元後，你將能夠：
- 用一句話說清楚反射的本質：邊界條件 + 阻抗不匹配 → 必須生成反射波才能滿足界面規矩
- 用相位對齊理解折射：界面上相位必連續 → Snell 定律自然出現
- 分清楚「振幅規則」與「方向規則」：
- 振幅（反射/透射多少）看 阻抗 η
- 方向（折射角怎麼變）看 波速 v 或折射率 n
- 能把結果落地到工程：反射係數 Γ、透射係數、臨界角、全反射、駐波/VSWR 的源頭直覺
- 能完成 5 題練習：Snell、臨界角、Γ 的符號、能量分配、角度對鏈路損失
🧭 一、先抓住一句核心（超關鍵）
✅ 反射 = 界面規矩逼出來的「修正波」介質交界面上，電磁場不能隨便跳掉：某些分量必須連續。當兩側材料「傳播能力」不同（η 不同、v 不同），只靠一個透射波做不到同時滿足規矩，所以系統被迫「加上一個反射波」，讓總場剛好符合邊界條件。
你可以把它想成：
界面在做「場的結帳」：不平衡就退貨（反射）。
🧱 二、反射的硬來源：邊界條件（不用背多，抓兩條就夠）
對一般介質界面（沒有表面電荷/表面電流的理想狀態），最常用兩條：
- 切向電場連續：E_t1 = E_t2
- 切向磁場連續：H_t1 = H_t2
這兩條的工程語言是：
✅ 界面上「沿著表面滑過去」的 E 與 H 不允許突然跳號。
因此入射波來了之後，你在界面上必須同時滿足：
E_i + E_r = E_t H_i + H_r = H_t
只要兩側 η 不同，E 與 H 的比例尺就不同；要同時把 E 和 H 的連續性結帳結平，通常就必須有反射波。
↩️ 三、反射係數：振幅到底怎麼分配？
先從最清楚的情境：正入射（normal incidence）。
反射係數（電場幅度）
Γ = (η₂ − η₁)/(η₂ + η₁)
立刻得到三個工程判斷：
- η₂ = η₁ → Γ = 0
→ 完美匹配，不反射 - η₂ ≫ η₁ → Γ → +1
→ 幾乎全反射，且反射波與入射波同相（電場不翻轉） - η₂ ≪ η₁ → Γ → −1
→ 幾乎全反射，且反射波反相（電場翻轉 180°）
(圖 1) 正入射：用「結帳式」看反射
介質 1（η₁） 介質 2（η₂）
Ei,Hi ───────────────► |界面| ───────────────Et,Ht Er,Hr ◄───────────────
E：Ei + Er = Et
H：Hi + Hr = Ht Γ = Er/Ei = (η₂ − η₁)/(η₂ + η₁)
🧭 四、折射的本質：相位必須在界面對齊
折射角從哪裡來？不是因為波「想轉彎」，而是因為：
✅ 界面上同一條線上的相位，不能一邊先到一邊後到。
也就是：界面切向方向的波數分量必相同
k₁ sinθ₁ = k₂ sinθ₂
而 k = ω/v = nω/c
因此得到 Snell 定律：
n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂
或 sinθ₁/sinθ₂ = v₁/v₂
工程直覺：
- 進到「更慢」的介質（v 變小、n 變大）→ θ 變小 → 往法線靠
- 進到「更快」的介質（v 變大、n 變小）→ θ 變大 → 離法線遠
(圖 2) 折射：不是轉彎，是相位面對齊
界面（x 軸方向）上相位必連續
→ 切向波數相等：k₁ sinθ₁ = k₂ sinθ₂
介質 1 (n₁, v₁) 介質 2 (n₂, v₂)
入射 θ₁ ↘
↘
--------------------|-------------------- 界面
↘ θ₂ 透射（折射）
↘
n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂
🧊 五、臨界角與全反射：折射「做不到」時會怎樣？
當波從高折射率（n 大、慢）進到低折射率（n 小、快）：
n₁ > n₂
Snell：n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂
當 θ₁ 變大，右邊 sinθ₂ 會被逼到 >1（不可能）。那一刻代表：
✅ 沒有可傳播的折射波了 → 發生全反射。
臨界角 θ_c 定義為 θ₂ = 90°：
sinθ_c = n₂/n₁ （n₁ > n₂）
工程含義：
- 光纖、導波、雷射腔、介質波導，都是把「全反射」當成核心機制
- 即使全反射，界面仍會有「倏逝波」貼著界面衰減（在介質 2 不傳播但會存在）
⚡ 六、把「方向」與「振幅」分開看（避免初學混亂）
這是本單元最容易搞混的地方，我用一句硬分工幫你鎖住：
✅ 折射角怎麼轉：看 n 或 v（Snell）
✅ 反射多少/透射多少：看 η（阻抗匹配）
很多人把 n 當成「反射強弱」的決定者，其實更精準是：
- n 主宰相位與方向
- η 主宰 E/H 比例與界面分配（Γ、T、能量流）
（在非磁性材料 μ≈μ₀ 時，η 與 n 的確常常相關，但不要把它們當同一件事。）
🧩 七、你要帶走的 4 個硬直覺
↩️ 反射是「界面規矩逼出的補救波」：不匹配就得退貨
📐 折射是「相位在界面必須對齊」：Snell 是幾何必然
🧱 振幅看 η、方向看 n：先分工再計算
🧊 全反射是「折射做不到」：sinθ₂ > 1 → 只能全反射（外加倏逝波）
🧪 單元練習題
練習 1｜Snell 定律快算（方向題）
n₁ = 1.0（空氣），n₂ = 1.5（玻璃），入射角 θ₁ = 30°。求折射角 θ₂。
✅ 解析：
n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂ sinθ₂ = (n₁/n₂) sin30° = (1/1.5)×0.5 = 1/3 θ₂ = arcsin(1/3) ≈ 19.5°
練習 2｜臨界角（全反射門檻）
n₁ = 1.5（玻璃），n₂ = 1.0（空氣）。求臨界角 θ_c。
✅ 解析：
sinθ_c = n₂/n₁ = 1/1.5 = 2/3 θ_c = arcsin(2/3) ≈ 41.8°
練習 3｜Γ 的符號直覺（振幅題）
正入射下，若 η₂ < η₁，Γ 會是正還是負？代表反射電場相位如何？
✅ 解析：
Γ = (η₂ − η₁)/(η₂ + η₁) η₂ < η₁ → 分子為負 → Γ < 0 代表反射電場相位翻轉 180°（反相反射）
練習 4｜匹配判斷（工程快判）
若 η₂ = 2η₁，求 Γ（正入射），並用一句話判斷反射強不強。
✅ 解析：
Γ = (2η₁ − η₁)/(2η₁ + η₁) = 1/3 ≈ 0.333 反射幅度約 33%，屬於「明顯反射」，不是小到可忽略。
練習 5｜角度對鏈路的投影損失（把折射直覺連到工程）
接收面有效面積 A，入射方向與法向夾角 θ，簡化模型 P ∝ cosθ。
若 θ 從 0° 變成 60°，功率比 P₆₀/P₀ 為何？一句話說明工程意義。
✅ 解析：
P₆₀/P₀ = cos60°/cos0° = 0.5/1 = 0.5 意義：指向/角度誤差會直接吃掉鏈路裕度（功率可能腰斬）。
