1) Fermi function：某個能階「被電子佔據」的機率
Fermi–Dirac 分佈（佔據機率）
f(E) = 1 / (1 + exp[(E − Ef)/kT])
直覺三句話（超好背）：- E < Ef：f(E) 接近 1（大多被電子佔據）
- E = Ef：f(E) = 1/2（剛好一半機率被佔據）
- E > Ef：f(E) 很小（大多空著）
用 Unicode 畫「階梯被溫度抹平」的直覺：
2) Density of States (DOS)：不是「有沒有佔據」，而是「有多少位子」
f(E)
1.0 ┤■■■■■■■■■■■
0.5 ┤ ● (E = Ef)
0.0 ┼──────────────→ E
Ef
T ↑ 時：階梯邊緣變鈍（高能階更容易被佔據）
DOS 的意思：每單位能量區間內，系統提供多少個可用狀態（座位）給電子坐。
所以你一定要把這句刻進腦內：
「濃度 = 位子數（DOS）× 坐上去的機率（f）」
3) 由 DOS 與 f(E) 得到電子濃度 n
導帶中的電子濃度是把導帶所有能量的貢獻加總：
n = ∫(Ec→∞) gc(E) · f(E) dE
- gc(E)：conduction band 的 DOS
- f(E)：Fermi function（佔據機率）
3.1 Boltzmann approximation（非退化近似）的由來
當 E − Ef ≫ kT（也就是 Ef 離導帶邊 Ec 很遠、在導帶尾端區域），則：
f(E) = 1 / (1 + exp[(E − Ef)/kT])
因為 exp[(E − Ef)/kT] 很大 → 1 可以忽略
所以得到 Boltzmann 近似：
f(E) ≈ exp[−(E − Ef)/kT]
一句話判斷條件（考場用）：
- Ef 距 Ec 或 Ev 至少「好幾個 kT」 才安全（室溫 kT 約 25 meV，你可以口頭說「要遠大於 kT」）
4) 推導結果：n = Nc exp[−(Ec − Ef)/kT]
在非退化近似下，把 DOS（位子）× Boltzmann f(E)（機率）積分後，會收斂成：
n = Nc · exp[−(Ec − Ef)/kT]
這裡的 Nc 叫做 conduction band 的 effective density of states（等效態密度）。
你不用每次重推 Nc 的細節，但你要記住它的物理意義：
Nc 是導帶「可用座位總量」的有效表示（會隨溫度、有效質量變動）。
5) 電洞濃度 p 的推導：用「空位機率」1 − f(E)
價帶裡討論電洞，最乾淨的寫法是：
p = ∫(−∞→Ev) gv(E) · [1 − f(E)] dE
- gv(E)：valence band 的 DOS
- [1 − f(E)]：該能階沒有被電子佔據的機率 → 就是「電洞」存在的機率
非退化近似下同樣可得到：
p = Nv · exp[−(Ef − Ev)/kT]
一句話拿分：
- Ef 越靠近 Ev → (Ef − Ev) 變小 → p 指數暴增
- Ef 越靠近 Ec → (Ec − Ef) 變小 → n 指數暴增
6) Ef 的位置判讀：用「距離」秒判 n、p
把 n、p 兩式當成「距離 → 數量」翻譯器：
n ∝ exp[−(Ec − Ef)/kT]
p ∝ exp[−(Ef − Ev)/kT]
所以你拿到能帶圖，直接看 Ef：
6.1 三種基本結論（不用算就能先拿分）
(A) Intrinsic（本徵）
- Ef 在接近 midgap
- n = p = ni
(B) n-type（非退化）
- Ef 靠近 Ec
- n ≫ p
(C) p-type（非退化）
- Ef 靠近 Ev
- p ≫ n
7) 退化 vs 非退化：何時 Boltzmann 會失效？
你用「Ef 靠帶邊的程度」判斷：
- 若 Ef 非常靠近 Ec（甚至進入導帶）或非常靠近 Ev（甚至進入價帶）
→ f(E) 不再是單純的 exp 尾巴 → Boltzmann approximation 失效
→ 必須用完整 Fermi–Dirac（並且載子濃度會比你用 Boltzmann 算得更高）
考場一句話模板：
Ef 距帶邊不再遠大於 kT → 進入退化 → 需用 F–D，Boltzmann 不可靠。
8) 你可以加進 W2 NOTE 的「串接總結句」
把整段濃縮成你風格的一條主線：
先看 Ef 位置（決定佔據機率 f），再乘上 DOS（位子數），積分得到 n、p；非退化時 f(E) 可用 Boltzmann 指數近似，最後化成 n = Nc exp[−(Ec − Ef)/kT]、p = Nv exp[−(Ef − Ev)/kT]。Ef 是總司令：靠近 Ec → n 暴增；靠近 Ev → p 暴增；太靠帶邊 → 退化 → 不能用 Boltzmann。
9) Mass Action Law（質量作用律）：n·p = ni²（熱平衡下的硬規則）
在非退化（Boltzmann approximation）且熱平衡時，我們已得到：
n = Nc · exp[−(Ec − Ef)/kT]
p = Nv · exp[−(Ef − Ev)/kT]
兩式相乘：
n·p
= Nc Nv · exp{−[(Ec − Ef) + (Ef − Ev)]/kT}
= Nc Nv · exp[−(Ec − Ev)/kT]
= Nc Nv · exp[−Eg/kT]其中 Eg = Ec − Ev。
接著定義本徵濃度 ni（intrinsic carrier concentration）：
ni = √(Nc Nv) · exp[−Eg/(2kT)]
因此立刻得到 Mass Action Law：
✅ n·p = ni²
9.1 一句話拿分（重點條件）
- 成立條件：熱平衡（equilibrium）
- 常用範圍：非退化半導體（Boltzmann 近似有效）
- 直覺：摻雜把 Ef 推向 Ec 或 Ev，會讓 n 變大、p 變小，但在熱平衡下它們的乘積仍被 ni² 鎖住（同溫同材料）。
→ 所以常見速算： n-type：p ≈ ni² / n p-type：n ≈ ni² / p9.2 你可以放在能帶圖旁的「鎖死直覺」
熱平衡：n ↑ ⇒ p ↓（被 ni² 鎖住）
熱平衡：p ↑ ⇒ n ↓（被 ni² 鎖住）
