從石頭、沙子和水的故事到整數、有理數和實數

石頭、沙子和水的故事大家都聽過吧？不過這次我們小(爆)改一下這個故事。

有位教授為一所理工學院的新生上一堂課。他手中沒有拿課本，而是在講桌上放了一個大大的透明玻璃瓶。教授說：「同學們，我們今天來做一個小實驗。」學生們都好奇地看著教授。只見他從書桌里拿出一堆拳頭大的石塊，然後一塊塊放進那個大大的玻璃瓶里，瓶子很快裝滿了。然後，教授問學生：「大家看一看，瓶子滿了沒有？是不是瓶子再也裝不下了？」「滿了。」所有的學生異口同聲。

「真的嗎？」教授從書桌里拿出了一桶碎石，一點一點地放進了那個大玻璃瓶，晃一晃，碎石落在了大石頭的縫隙里，不一會兒，碎石被全部放進了玻璃瓶。「現在，玻璃瓶里是不是真的滿了？還能不能裝下東西了？」有了第一次的教訓，學生們有些謹慎，沒有人回答。只有一個學生小聲說：「我想應該沒有滿。」

教授用讚許的眼光看了看那個學生，再次從書桌里拿出一杯細沙，緩緩地倒進玻璃瓶，細沙很快填上了碎石之間的空隙，半分鐘後，玻璃瓶的表面已經看不到石頭了。「同學們，這次你們說瓶子滿了嗎？」「還沒有吧。」學生們回答，但是心裡卻沒有把握。

「沒錯。」教授拿出了一杯水，從玻璃瓶敞開的口裡倒進瓶子，水滲下去了，並沒有溢出來。這時，教授抬起頭來，微笑著問：「這個小實驗說明了什麼？」台下一片沉默教授開始了他的第一堂課，從實數軸說起。

教授拿起粉筆在黑板上畫了一條直線，並規定越往右邊數字越大，說我們假設這是數軸，然後標了幾個點，並寫上1、2、3···，並說這些數是正整數，而且是自然萬物的基本單位，所以我們稱這些數字為自然數，而收集所有自然數的集合稱為自然數集，記做 N={1, 2, 3, ...}。

然後往右標上了-1、-2···，說道這就是負整數，然後底下就有同學問了：「為什麼1跟-1之間的間隔特別寬？」教授就說因為有個非常特別的數，搭起正整數及負整數之間的橋樑，也就是0，加入0之後，我們就構造出了整數集，記做Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，而這就開始跟前面的玻璃瓶有關係了，我們就假設這個玻璃瓶為數軸，而這個石頭就是剛剛提到的整數，他看似可以裝滿整個數軸，但我們會發現有些空隙。

比如說，0跟1之間，可能存在一些分數，例如：1/2、1/3、0.01等，而這些數不只在0跟1之間有，任意兩個整數之間都有無限多的分數，並且注意到，我們說的分數都可以表示成兩個「整數」相除，比如0.5可表示成1/2、0.01可以表示成1/100或10/1000等，並沒有規定說分子分母一定要化成最簡，也就是說，分子分母不一定是要互質的，而且我們知道分數代表的是一種「比例」的關係，古希臘人認為這種數字才是「合理」的，故稱其為「有理數」，我們將這些數收集起來，形成有理數集，記做Q={p/q | p, q為整數, q≠0}，而在裡面可以約分成整數的，比如4/2=2，就是水瓶裡的石頭；而那些無法約分成整數的，比如1/3=0.33333...，則是水瓶裡的沙子，他們遍佈在石頭之間，甚至我們也可以說，幾乎每兩粒沙子之間，都可以找到第三粒沙子，比較數學的敘述是說有理數是稠密的。

假設我們這裡有個等腰直角三角形，兩腰長都為1，則第三邊長度為多少？透過畢達哥拉斯定理，我們可以輕易求出來其長度為根號2，最早發現這個數的人是古希臘時期畢達哥拉斯學派的西帕索斯，他發現這個數字小數點後有無限多位且不循環，也就是無法寫成兩整數之比的形式，不過畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物皆由整數或兩整數之比來表達，因此引發了「第一次數學危機」，後來達文西將這種數字稱為「無理數」，還有其他許多常見的無理數，比如：圓周率π、歐拉數e、黃金比例φ等，而這些數字即水瓶裡的水，他們無處不在。

如果我們把前面的有理數集加入這些無理數，為了區別虛數(因不在討論範圍內，故不繼續延伸)，而將它們通稱為「實數」，而收集這些實數的集合稱為實數集，記做\R，而實數就有許多複雜的性質了，比如：實數在加法及乘法下都是封閉的(兩實數相加或相乘後還是實數，也就是逃不出實數集)、實數是完備的(實數數線上充滿實數，不會有任何空隙)、實數是稠密的、實數有可比性(任兩實數滿足三一律)、實數集不可數(無法把所有實數照順序排列，但有理數可以)。

有了這個稠密的實數，我們才能在微積分裡面定義何謂連續、何謂極限、何謂微分、何謂積分，還有使得中間值定理、微積分基本定理等敘述是正確的，如果說微、演積分是近代科技發展的基石，則實數的完備性是微積分的核心。