在古希臘的幾何中，只有直尺、圓規兩種工具，所以當他們面對倍立方問題，需要加倍一個立方體時，他們無法求出 2 的立方根，所以，對於倍立方體問題，他們確實是想不出方法解決。（ 關於倍立方體問題 可見「真的沒辦法？請證明」）
當代數出現後，數字人開始可以求出算式的根（未知數的解答）後，新的問題出現了--- 負數的平方根到底是什麼？ （例如： 4 的平方根是2，那麼 -4 的平方根是多少？）
首先，這個數應該既不是 2 ，也不是 -2。（大家同意吧？）算術人掙扎了一陣子後，想出了一個沒有辦法的辦法，他們決定將這個答案叫 2i ，然後定義 i 的平方是 -1，這樣就解決了計算上的問題。
不過，雖然定義了i ，但數字人其實也搞不清楚這數字代表什麼。（這就好比我們今天經常把「民主」、「自由」、「人權」掛在嘴邊，但「民主」、「自由」、「人權」是什麼，講的人自己也不見得清楚。）
無論如何，出於計算上的需要，數學人承認了負數的平方根的存在。只是，人們無法在數線上表出這個數的位置。這個數似乎比零、負數、分數還有無理數都還要古怪，所以叫虛幻的數（imaginary numbers）。
再回頭想想，4 的平方根問題。2 是 4 的平方根， -2 其實也是吧？
那麼，-4 的平方根應該是什麼？ 2i 與 -2i 也都是吧！
如果試著用向量的方式，將他們標在下面的複數平面上，他們會落在那裡？
再從另一個方面，想想這問題：
如果，將2乘以 i ，向量又會發生什麼變化？ 如果，將 2乘以 -i，又會有什麼變化？
(享受一下旋轉的樂趣吧！應該順時針還是逆時針旋轉呢？）
簡單地說，在複數平面上，將一個正數，乘以 i ，就會造成向量逆時針旋轉90度，如果，將一個正數，乘以 i 的平方，就會造成向量逆時針旋轉 180 度。
了解這個原理，再想想二次方程式的求解問題。
有了複數平面後，就可以把二次方程式的根標示在複數平面上，而且他們一定會以複數的形式，成對出現。
（就像鏡子的影像一樣，虛實相對吧！）
數學人想通這一點後，複數（complex number）就找到從數學的世界跳到自然科學與工程領域的跳板。
仔細看看上面這電場和磁場的震盪，各位應該可以理解複數的概念可以計算的現象其實並非「純屬虛構」吧！
在思想的領域中，先想法為「抽象概念」找到一個「可以實現的定義」，才能探索如何完備這個「抽象概念」，也才能找到「測量、評估」這個「抽象概念」的方式。
不知，各位準備如何定義「民主社會」中的「自由」呢？
本文由美克斯星球藝文報忠心贊助。
