作者: 黃盛
1 Down the rabbit hole: 論理型
掉下兔子洞
十二
有了上述的一點邏輯知識背境,讓我們重抄一遍愛麗絲的毒藥論﹐然後討論幾個邏輯問題。這是愛麗絲的毒藥論:
我們稱這個愛麗絲用自然語言說出來的推理為「毒藥論 [1]」﹐然後我們協定如下:
那麼毒藥論 [1]可以寫作
純用邏輯符號翻譯毒藥論,毒藥論便有這個形式﹕
愛麗絲的小腦袋如是思考。思考有了結果便行動﹐愛麗絲大起膽子﹐試了一試味道﹐還挺美味的 (一種混合著櫻桃餅撻﹑蛋奶糊﹑菠蘿﹑烤火雞﹑牛奶糖﹑熱奶油面包的味道)﹐於是想也不想﹐一口氣就把一瓶的飲料喝光了。果然不是毒藥﹐而且如願以償﹐她的身體竟然像望遠鏡般縮小。
「果然不是毒藥」﹐但愛麗絲的推論是錯的。「果然不是毒藥」不能證明愛麗絲的毒藥論是正確的。條件句的前件的否定不能證明後件的否定就是對(真)的﹐即使碰巧後件是個真句。愛麗絲的親身體驗證明她的論理的結論是真的﹐但真的結論不能證明她的論理有效﹗我們要搞清楚幾點。
第一點﹐真結論不能證明論理 (argument) 的有效性(validity)。
用最淺白的例子解釋﹐請看下方的論理:
我們稱這個論理為「大學論」。結論「立命館大學是一所日本大學」是個事實﹐因此是個真句﹐但大學論不是個有效論理。如果我們用「G」代表「哥廷根大學位於德國」﹑「D」代表「哥廷根大學是一所德國大學」﹑「R」代表「立命館大學是一所日本大學」﹐我們立刻便見到結論和前提之間完全沒有關連,雖然 G﹑D﹑R 都是真句:
「沒有關連」是指在形式上沒有關連。我們現在應用的邏輯有時也籠統地稱作「形式邏輯」(formal logic),因為這個邏輯關心的是形式。有效論理的首要條件是前提和結論有形式上的關連﹕結論起碼要出現在前提之中一次。「R」(論理型3號中的「r」) 顯然沒有在前提中出現過。如果這樣的論理可以成立﹐根據它的形式﹐我們根本無需引用「G → D」(論理型3號中的「p → q」) 的形式,乾脆提出「R」(論理型3號中的「r」或任一句子) 便算了。但雖然「R」碰巧是個真句(事實上,「G → D」也碰巧是個真句)﹐我們不可以作出大學論那樣的推論。結論的真假與論理的有效性完全沒有關係。
第二點,一個無效論理 (valid argument)﹐即使前提皆真﹐也不能保證結論為真。以下便是這樣的一個例子。我們稱它為「信仰論」。19
約2,300年前﹐阿里士多德已經發現這個論理型是無效的。所謂無效是指形式上無效。信仰論中的兩個前提皆真﹐但結論明顯是假。有效的論理型就像個立方體模胚﹐成為一個製造立方體鑄件的標準。如果不用立方體模胚﹐便不會製造出特定的立方體鑄件。我們的信仰論就不是用「立方體」模胚鑄造出來的產品﹐因此不能作準。一個無效論理﹐即使碰巧前提皆真﹐結論也可能是假的。
大學論和信仰論呈現出一個有趣的案例: 在前提皆真的情況下,前者的結論真,後者的結論假。這說明真前提不是真結論的保證。邏輯的一個目的就是要清除偶然和巧合: 大學論中的真結論僅僅是一個偶然。
邏輯所要求的保證是形式上的保證。
所以﹐第三點,一個有效論理要求在前提皆真的情況下即保證結論為真。論理的有效性間接保證結論的真實性。「間接」﹐因為要保證結論為真需要兩個條件:
一個有效論理在形式上作出保證: 如果前提皆真,結論必真。
一個有效論理對所輸入的前提真假不作保證。
當我們說愛麗絲的毒藥論無效﹐我們的意思是說﹐愛麗絲的毒藥論在形式上無效。但「無效」或「有效」就是形式特性 (formal properties)﹐所以「在形式上無效」便是冗贅。我們單用「無效」或「有效」就可以了。當我們用「無效」或「有效」時﹐這兩個語詞的應用幅度維持在形式論述之內。
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19 伊斯蘭稱其上帝為「阿拉」,基本意義還是一個創造世界萬物的神或上帝,因此只是用語的差別。
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