排列組合｜ＡＢＣＤＥＦ六個字母排成一列，請問Ａ在Ｂ左方（不一定要相鄰）的組合有幾種？

最近每天都有同學在解題社群提問這類型的問題，有些同學甚至po出解答來提問，表示看了解答卻還是看不懂，畢竟有時候「詳解」也沒辦法完整表達所有觀念。

排列組合是一門龐大的章節，許多人聞排組而色變，但排列組合的本質其實還是「窮舉法」，也就是把全部的可能通通列出來，只是很多地方我們可以透過計算讓窮舉變得更容易一些。

在講解之前，先小小帶一下排列組合的觀念。

• 「n！」是「n階乘」的意思，也就是１×２×３×......×n
• 如果n個人排成一列的話，可能的組合數就是n！種。
  （例如４人排一列＝４！＝１×２×３×４＝２４種）

理解題意

題目中強調Ａ只要在Ｂ的左方就好，可以不相鄰，代表Ａ和Ｂ之間可以夾雜其他字母。

例如ＤＡＣＦＥＢ　這樣是可行的。

我們先來算算其他比較常見的情況。

如果題目變成Ａ一定要在Ｂ左邊且ＡＢ相鄰的話，計算起來會直觀很多，看作是：
ＡＢ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ　五組在排列，組合數為５！＝１×２×３×４×５＝１２０種

而如果只看ＡＢ相鄰，不在乎左右的話，組合數還要再×２（因為ＡＢ可以互換位置）
＝２４０種

接下來切回正題。

題目提到的Ａ在Ｂ左方要怎麼處理呢？關鍵的一步就是：將ＡＢ視為同物。

就是把題目當成Ａ、Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ來排列。

為什麼

題目中出現相同字母的排列稱為「不盡相異物」的排列。
以上述Ａ、Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ為例，我們先將兩個Ａ標記為Ａ₁與A₂，這樣６個字母排列的組合數=６！＝７２０種。這７２０種當中，我們挑出其中兩組：

• Ｃ、A₂、Ｆ、Ｅ、A_１、Ｄ
• Ｃ、Ａ₁、Ｆ、Ｅ、A₂、Ｄ

這兩種情況只有Ａ₁、A₂位置相反而已，但１和２其實是剛剛標記上去的，事實上這兩個字母都是Ａ，也就是說，我們把Ｃ、Ａ、Ｆ、Ｅ、Ａ、Ｄ這１種組合不小心算成了２種組合。

在題目沒有其他關於ＣＤＥＦ的條件之下，每１種組合都不小心被算成２種，所以最後答案要再除以２！也可以直接記作ＡＡ不能排列（２個相同數字所以除以２！）。

再一個為什麼

為什麼固定順序的題型可以當作不盡相異物排列？

是因為題目的「順序」已經終結了他們排列的機會，一樣沿用上面的例子，在ＡＢＣＤＥＦ任意排列的７２０種組合當中，取其中兩組來討論：

• Ｃ、Ｂ、Ｆ、Ｅ、A、Ｄ－（１）
• Ｃ、Ａ、Ｆ、Ｅ、Ｂ、Ｄ－（２）

在ＣＤＥＦ固定的情況下，為符合題意，（１）（２）才符合。

所以每兩組都會有一組是Ａ在Ｂ左方、另一組是Ａ在Ｂ右方，所以答案要再除以２！，變成３６０種。

簡潔無廢話版本解答

６個字母→６！

２個字母有順序→除以２！

→６！／２！＝３６０＃

小小延伸練習題

題目：一間電視台要播放ＡＢＣＤＥＦ六部節目，如果Ａ節目一定要在Ｂ和Ｃ之前播放完畢，請問有幾種播放組合？

答案：２４０種。

作法：
６個字母→６！
３個字母有順序→除以３！
Ｂ和Ｃ可交換→乘以２！
→（６！÷３！）×２！＝２４０＃