📌 導讀：極點和零點不是抽象名詞
它們是傳遞函數最重要的兩個數學結構：
📌 極點（pole） → 決定系統的內在行為與穩定性
📌 零點（zero） → 影響系統對不同頻率的響應與相位
極點與零點告訴你：
✔ 系統會不會穩定
✔ 是否會產生震盪
✔ 哪些頻率被放大或抑制
✔ 時域與頻域行為如何交互作用
🧠 一、什麼是極點與零點？
考慮一個傳遞函數：
G(s) = N(s) / D(s)
其中 N(s) 和 D(s) 是 s 的多項式。
📌 零點（Zeros）
係數 N(s)=0 的解，即使分子為零的位置
→ G(s)=0
📌 極點（Poles）
係數 D(s)=0 的解，即使分母為零的位置
→ G(s)→∞（理想上）
🧠 二、極點與穩定性
· 如果某極點的實部 > 0 → 系統不穩定
· 實部 < 0 → 系統趨於穩態（穩定）
· 實部 = 0 → 臨界不衰減（可能振盪）
極點在複平面的左半平面是穩定的關鍵 。
🧠 三、極點告訴你什麼？
極點的意義：
✔ 位置的實部與穩定性直接相關
✔ 虛部對應震盪頻率
✔ 越靠近想像軸 → 響應越慢衰減，振盪特性更明顯
🧠 四、零點在系統中的作用
零點主要影響：
✔ 對某些頻率輸入造成抑制
✔ 引入相位改變
✔ 讓系統對特定頻率成分「降增益」或「提高增益」
換言之：
👉 零點影響系統對輸入的頻率選擇性與頻率響應曲線
🧠 五、極點、零點與系統響應
極點與零點一起決定：
📌 穩定性（是否發散或收斂）
📌 暫態行為（是否會震盪與衰減）
📌 頻率選擇性（哪些頻率被放大或抑制）
📌 時域響應的形狀
這比單看微分方程更能直接理解系統性格。
🧠 六、極零圖（Pole‐Zero Plot）
在複平面上畫出：
✔ X（叉）表示極點
✔ O（圈）表示零點
這種圖叫 極零圖（Pole‐Zero Plot），是控制與濾波設計的重要視覺工具 。
📌 一句話記住
極點像系統的性格中樞，零點像系統的頻率調整器。
🧮 整合型數學題（含解析）
考慮一個二階傳遞函數系統：
G(s) = 10·(s + 2) / [s·(s + 5)]
(1) 寫出此系統的極點和零點
(2) 判斷系統是否穩定
(3) 說明零點對頻率響應（低頻 vs 高頻）的影響
(4) 畫出極零圖（描述性）
📌 解析
（1）極點與零點
傳遞函數：
G(s) = 10·(s + 2) / [s·(s + 5)]
👉 零點 是分子令 0 的解：
s + 2 = 0 ⇒ s = −2
👉 極點 是分母令 0 的解：
s = 0 s + 5 = 0 ⇒ s = −5
（2）穩定性判斷
極點：
s = 0
s = −5
其中：
✔ s = −5 在左半平面
✔ s = 0 在右半平面邊界
因此：
👉 此系統不穩定或臨界穩定
因為存在極點在 s = 0（不在左半平面） 。
（3）零點對頻率響應
零點 s = −2 會讓系統在某些頻率範圍上：
✔ 對 低頻輸入可能抑制（頻率低時增益較小）
✔ 對高頻輸入可能提升某些頻率響應
零點與極點位置的相對位置改變系統的頻率選擇性，使系統對不同頻率有不同增益模式 。
（4）極零圖（描述）
在複平面畫：
✔ X 表示極點：
· 在 s = 0（實軸上）
· 在 s = −5（左側實軸上）
✔ O 表示零點：
· 在 s = −2（左側實軸上）
✔ 零點 (O) 在 −2
✔ 極點 (X) 在 0 和 −5
🎯 工程總結
👇 用極點與零點看系統，你可以：
✔ 直接判斷穩定性（極點位置）
✔ 理解輸入到輸出如何放大或抑制
✔ 知道系統是否容易震盪
✔ 在極零圖上視覺化系統性格
