工程數學 W2：Partial Derivatives & Multiple Integrals（2026-03-04）
主題：偏微分、全微分、鏈鎖律、方向導數、Jacobian、二重/三重積分與座標變換 目標：把「多變數函數的變化」算準，為後續 Lagrange 乘子、電磁學積分定理、座標系變換打底。
🎯 1. 本週我真正要帶走的 5 件事
🧩 偏微分：把其他變數先當常數，先把局部斜率算到不出錯。
🧭 全微分 df：把 Δx、Δy、Δz 的小變動合成「一個總變化」。
🪝 鏈鎖律（chain rule）：多層函數/變數替換的必考大魔王，能寫對就贏一半。
🧿 方向導數：沿著單位方向 û 的瞬間變化率，其實就是 ∇f 的投影。
🧱 多重積分＋Jacobian：換座標時「面積/體積元素」要乘上 |J|，不然答案一定錯。
🧱 2. 偏微分（Partial Derivatives）：局部斜率的語言
給定純量場：f(x,y,z)
基本記法（最常用）：
∂f/∂x、∂f/∂y、∂f/∂z
直覺一句話：
「固定 y,z 不動，只看 x 對 f 的影響。」
✅ 二階偏微分（常考）
∂²f/∂x²、∂²f/∂y²、∂²f/∂x∂y
若 f 足夠光滑（連續二階偏導），通常有：
∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x
🧭 3. 全微分 df：把多變數的變化「打包」
如果 f=f(x,y,z)，則
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz
對應小量近似：
Δf ≈ df（當 dx,dy,dz 很小）
工程直覺：
「用線性平面去近似原本彎曲的曲面。」
🪝 4. 鏈鎖律（Chain Rule）：多層變數替換必考
情境 A：x=x(t), y=y(t)，f=f(x,y)
df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
情境 B：x=x(u,v), y=y(u,v)，f=f(x,y)
∂f/∂u = (∂f/∂x)(∂x/∂u) + (∂f/∂y)(∂y/∂u)
∂f/∂v = (∂f/∂x)(∂x/∂v) + (∂f/∂y)(∂y/∂v)
✅ 一句話口訣：
「外層對內層，再乘內層對你要的變數，全部加起來。」
🧿 5. 方向導數：∇f 的投影（超像 W1 的內積投影）
令 û 為單位向量，方向導數定義：
D_u f = ∇f · û
其中
∇f = (∂f/∂x)î + (∂f/∂y)ĵ + (∂f/∂z)k̂
🔥 立刻能用的結論
最大變化率 = |∇f| 最大上升方向 = ∇f 的方向
🧱 6. Jacobian：座標變換時，面積/體積元素要「補比例」
如果做變數替換： (x,y) = (x(u,v), y(u,v))
那麼面積元素：
dx dy = |J| du dv
Jacobian（2×2）定義：
J = ∂(x,y)/∂(u,v) = | ∂x/∂u ∂x/∂v | | ∂y/∂u ∂y/∂v |
|J| = (∂x/∂u)(∂y/∂v) − (∂x/∂v)(∂y/∂u)
直覺一句話：
「換座標後，一小塊 du dv 對應到 xy 平面時，被拉伸/壓縮了多少。」
🧮 7. 二重/三重積分：把面積/體積「累加」
二重積分（面積上累加）： ∬_R f(x,y) dA = ∬_R f(x,y) dx dy
若用極座標：
x = r cosθ, y = r sinθ dA = r dr dθ （重點是那個 r）
所以：
∬_R f(x,y) dA = ∬ f(r,θ) r dr dθ
三重積分（體積上累加）：
∭_V f(x,y,z) dV
若用球座標（常見）：
x = ρ sinφ cosθ y = ρ sinφ sinθ z = ρ cosφ dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ
🧨 8. 本週最常犯錯清單（我提醒自己）
❌ 偏微分時忘記「其他變數視為常數」
❌ df 少寫一項：df 一定是每個變數的偏導 × 微小變化相加
❌ 鏈鎖律漏乘一段：外層對內層要乘上內層對目標變數
❌ 方向導數忘記 û 要是「單位向量」
❌ 換座標忘記 Jacobian：極座標少乘 r、球座標少乘 ρ² sinφ 最常死
❌ 積分上下限沒跟著換座標一起改（θ 範圍、r 範圍常錯）
🧠 9. 1 句話總結（W2 的意義）
W2 是把「多變數世界」的變化算清楚：偏微分給局部斜率，全微分把變化打包，鏈鎖律處理變數替換，Jacobian 負責座標變換的尺度補正，後面優化、場論與多重積分定理都靠這套語言。
✅ 10. 5 分鐘自測（本週要能秒答）
- 偏微分的核心規則是什麼？
只對「指定變數」微分，其餘變數全部視為常數不動（所以本質是看某一方向的局部斜率）。 - df 公式怎麼寫？
若 f = f(x, y, z)， df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz
（兩變數就少一項：df = f_x dx + f_y dy） - Δf 何時可以用 df 近似？
當 (Δx, Δy, Δz) 很小、且 f 在該點附近可微且平滑（忽略二階以上小量）時：
Δf ≈ df（線性化／切平面近似）。 - 鏈鎖律（f(x(t),y(t))）怎麼寫？
若 f = f(x, y)，x = x(t)，y = y(t)， df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) - 方向導數 D_u f 跟 ∇f 的關係？
D_u f = ∇f · û（沿單位方向 û 的變化率 = 梯度在該方向的投影）。
也因此最大方向導數 = |∇f|，方向是 ∇f。 - 極座標 dA 為什麼是 r dr dθ？
在極座標，一小塊面積近似是「半徑方向厚度 dr」×「圓弧長 r dθ」， 所以 dA ≈ (dr)(r dθ) = r dr dθ（Jacobian = r）。 - 球座標 dV 為什麼是 ρ² sinφ？
球座標中微小體積可視為「徑向厚度 dρ」×「球面小面積」， 球面小面積 = (ρ dφ) × (ρ sinφ dθ) = ρ² sinφ dφ dθ， 再乘 dρ 得 dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ（Jacobian = ρ² sinφ）。
