「遇見自己的靈魂伴侶似乎比中樂透還難。」看著娛樂新聞裡分分合合的螢幕情侶，一度如膠似漆的恩愛夫妻，轉眼間成為話不投機的公眾怨偶，王子和公主的童話婚姻在許多平常人的眼裡可以說是撲朔迷離，霧裡看花。然而，平常人的婚姻感情生活似乎也沒有簡單許多。看著逐年陡峭攀升的離婚率，許多人不禁時時刻刻的感嘆著： 「我的真命天子 / 真命天女倒底在何方呢？」 然而與其無語問著蒼天，或求助於霞海城隍廟的月老婚姻仲介服務（可惜，月老並不包括售後及保固服務）。不如讓數學家們以扎實的理論和可量化的分析，來為曠男怨女們指點一條雙人同行的幸福之路吧！ 數學家？！提到數學家相信許多人腦海裡立刻出現一個典型的單字雲（Word Cloud），其中 “社交笨拙”，“不善言辭”，“內向”，“害羞” 等詞語似乎較能描述大眾對數學家的印象。而 “花花公子”，“情場高手” 等詞語卻似乎落在屬於形容數學家的單字雲外。向數學家請教如何尋得靈魂伴侶，似乎比向月老求助更不可靠。然而，目前在倫敦大學（Universiay College London）擔任數學講師的 [Hannah Fry] 有不同的看法。 Dr. Hannah Fry 原先的背景是流體力學分析，目前的研究則為複雜系統建立數學模型，Fry 處理的複雜系統主要包含兩個向度：空間和時間。在這兩個向度內，她發表數篇有關於密集人口居住區的互動行為，購物行為，犯罪模式以及恐怖活動的模式辨識分析的論文，更擴展她的領域至全球化經濟行為，流行病學傳染的預測和防治。如同許多傑出的數學家一般，Fry 擅長將抽象且複雜的互動關聯，以數學方程式表示並建立可預測的模型。而在 2014 年四月以『愛情的數學』（The Mathematics of Love）為題的 TED 演講中，Fry 將要以一貫從事科學研究嚴謹的態度，分享她個人數學上可證明的愛情忠告。 演講中，Fry 先以 Dr. Peter Backus 的《為何我找不到女朋友》（Why I Cannot Find a Girl Friend） 的文章為例。說明數學家們企圖以既有的數學公式來量化人生中的種種疑問。Backus 這篇標題帶點哀戚的文章裡，應用了 Drake 方程式來估算他找到完美伴侶的機率。Drake 方程式 是 1961 年由天文學家 Dr. Frank Drake 發展出的方程式，用以估算能做星際間溝通的高文明外星生物存在的機率。此方程式包括七個預測變數的乘積，這七個預測變數必須要共同存在才能有高智慧且能星際溝通的外星生物存在。這七個預測變數包括了： 能夠形成星際溝通的文明數量 任一星球演變為適宜生物居住的速率 在星系中近似地球的平均星球數 近似地球的星球中能支持生物生存的比例 在支持生物生存的星球中發展高度智能生物的比例 在發展高度智能生物中能建構星際間溝通管道的比例 根據 Drake 方程式，若要在銀河系找到能夠在不同星球居住，又能進行星際溝通的外星生物機率大概比兆分之一還稍微高些。然而 Backus 關心的不是高度智能生物的星際溝通，事實上，他所關心的是比較個人的問題：找到女朋友的機率。 於是 Backus 根據 Drake 公式，以倫敦的人口成長數率替換星球等參數，再乘上 Backus 相當主觀的個人擇偶條件，得到的機率比起 Drake 估算能相互溝通高度智能生物的存在可能性，只不過高於四百倍。若對尋找終生伴侶，這似乎不是一個很好的消息。然而，Fry 並不這麼悲觀，相反地，因為人類的行為和情感在時間過程的高度變動性，Fry 認為找到完美伴侶的機率要比 Backus 估算的高些。 在此演講中，Fry 將要提供數學理論支持的忠告，讓你能 “成為約會網站的受歡迎人物”，“選擇適當的婚姻伴侶” 以及 “避免離婚”。只要遵守 Fry 的忠告。男人與女人們便無需再望著蒼天興嘆，或是對著尋找高等智慧的外星生物公式感嘆機會渺茫。 如何成為約會網站的受歡迎人物 (How to Win Online Dating) Fry 認為，若要成為約會網站上的熱門人物，首先你要勇於表現自己不同之處。也就是說，與其模仿他人，或是成為人見人愛的網路人氣甜心，倒不如讓自己的缺點或不同處成為一種特色。這個結論是 Fry 根據 OkCupid 約會網站中累積約十年的資料數據所做的分析。OkCupid 的網站是由一群數學家們所建立的，他們建立這個網站的宗旨，便是希望能搜集足夠的資料，並且能運用演算法來為會員們找到適宜的對象。網站累積的資料中包括了會員如何互動，和每位會員的吸引力評分。 在 OkCupid 的網站中，會員們可以利用一到五的評分，來評比其他會員對自己的吸引力。而這個投票式的吸引力評分可以當作可量測的吸引力程度。至於，會員是否是網站內的熱門人物，則是以會員每個月收到的訊息數來作為量化受歡迎的程度。根據這兩個量測值，便可以畫出點狀圖，並計算是否能以會員的吸引力程度來預測該會員的受歡迎程度。 Fry 以 OkCupid 提供的點狀圖（上圖）來描述吸引力分數（Measured attractivenss）和每個月獲得訊息數目（Messages received last month）「註一」的相關性。以吸引力分數為自變數，且畫於橫軸（x-axis）。每個月獲得訊息的數目為應變數，畫於縱軸（y-axis）。從上圖可發現，吸引力分數的確和每個月的訊息數呈弱正相關。可預期的，在低吸引力的會員中得到的訊息數較少，而高吸引力的會員則得到較多的訊息。 但這樣的相關性並不是成線性，而是像反拋物線一樣，訊息的數目差異很明顯的分佈在略低到普通。以及普通到略高，之後曲線陡然上升。被評為極有吸引力的少數會員，收到的訊息數量平均值較高，然而個別收到訊息數仍舊有相當大的差異性。Fry 認為即使會員們擁有相同的吸引力分數，個別訊息數量的差異性透露了成為約會網站內歡迎人物主要原因。 Fry 以潔西卡派克（Jessica Parker）和波蒂亞德羅西（Portia de Rossi）為例，波蒂亞德羅西的外貌迷人，雖然不是超級模特般，卻如鄰家女孩般人人喜愛。這樣的甜心女孩的吸引力分數會有單一峰值的分佈，如上圖的右下角，波蒂亞德羅西相片下的分數直條圖所示，分數分布集中在 4。 相反的，對於潔西卡派克，卻有著兩個極端的分佈。有些人認為潔西卡派克性感迷人，而有些人則認為她外型不怎麼出色。然而這些相互抵觸的評論，卻讓潔西卡派克成為最受歡迎的約會網站明星，如上圖的右上角。潔西卡派克的吸引力分數（照片下方的直條圖），有兩個峰值，分別在 1 和 5 之間。 Fry 指出，兩人雖有同樣的平均吸引力分數，但因為兩人有不同的分數分佈，而導致潔西卡派克的高訊息數量，也較為受歡迎。而波蒂亞德羅西則有較少的訊息數，較為乏人問津。 Fry 認為這個現象背後的心理因素，可以如此推論：同樣吸引力的兩個人，若一人評價呈兩極化，會使有潛力的追求者認為該對象擁有較少的競爭對手，便更勇於追求。相反的，評價一致化的對象，卻讓許多有潛力的競爭者望之卻步。所以 Fry 建議，在約會網站上，與其企圖掩蓋自己的缺點，例如放上裁切過的圖片或戴上帽子以遮掩微少髮量，不如大方的展示自己真實的相貌，讓吸引自己真實性格的人更勇於表達自己的熱情。 該如何選擇適當的婚姻伴侶 (How to Pick a Perfect Partner) 該如何為長期關係中挑選完美的伴侶，或是何時該選擇共度一生的對象呢？Fry 則建議應用最佳停止理論（Optimal Stopping Theory） 來選擇。 最佳停止理論主要是用來解決如何在最佳的時間點做決定。該理論已經應用在經濟和財務的決策上。若以買賣股票為例，大概就是最佳的等待時間，將股票賣出，而可以獲得最大的紅利或最小的損失。最佳停止理論也應用於甄選求職者，同時也被稱為秘書問題或婚姻問題（secretary problem or marrige problem）。 該問題有若干限制並可以簡單的敘述如下：若一個主管欲雇用一名秘書，希望能從一段時間面試若干求職者中選擇適合此職務的最佳人選。求職者來面試的順序是完全隨機，主管無從得知，先來面試的會是較適合此工作的人選或是較不適合的。在面試的過程中，主管可對求職者作記錄及評分，一旦面試求職者後，主管必須立刻做出錄取或拒絕的決定，而一旦做了決定便不能反悔。那麼主管該面試多少人才能找到最適合此職務的求職者。同樣的限制也應用在 Fry 所描繪的選擇婚姻伴侶的決策上，約會對象出現的時間點是完全隨機，一旦拒絕約會對象則無從反悔，那麼最佳停止理論該如何讓人找到最佳長期伴侶呢？ 要應用這個理論，首先要先預估自己一生中的活躍約會時期，也就是從開始約會的年齡到你準備發展長期單一伴侶關係或甚至結婚的年齡。在估算自己的活躍約會時期後，最佳停止理論建議，你需拒絕前 37% 的活躍約會時期遇到的任何對象，經過了拒絕階段後，則接受比起之前所遇到的對象還佳的第一位人選。 如上圖所示。圖中，橫線代表的是時間軸，由開始約會的時間算起，每一個人形則代表該時間點約會的對象，而人形後的長條圖則是你對該約會對象的滿意程度。更進一步具體說明，倘若一個人在高中時期（15 歲）開始約會，而預定在 35 歲決定發展長期關係，那麼為了選擇最佳伴侶（optimal），最佳停止理論建議拒絕在 22 到 23 歲前遇到的任何對象（上圖中標註 37% 虛線的前端），然後在 23 歲之後選擇比以前見過的對象較好的人選（也就是在 37% 虛線後遇到的第一個最佳人選），即是第二位，因為此人有較高的長條圖或高於過往約會對象的評價。Fry 更指出，在生物界中，有一種魚類便是依照這樣的模式來選擇伴侶。 然而依照最佳停止理論選擇長期伴侶。卻有一定的風險在，畢竟數學是先架構於完美世界的模型，對於不完美的例外，數學則運用機率來評估可能有的風險。誠如在描述選擇長期伴侶問題給予的限制，約會者的出現順序不可知，一旦作出決定不可反悔，這兩者限制在現實生活中是可能的，卻也導致了最佳停止理論無法找到最佳伴侶的風險。 依照最佳停止理論選擇長期伴侶的第一個風險是：最佳停止理論並不一定會找到最佳長期伴侶，有時則會是較佳長期伴侶 (sub-optimal)。舉例而言，若一個人成長在與自己個性迥異的環境裡，遵奉最佳停止理論拒絕前 37% 時間內約會的對象顯然不是一件難事，然而在 37% 時間後，這個人換了新的環境，遇到的第一個對象，稍稍比自己成長環境所遇到的對象為佳，於是便立即做了長期承諾。就如上圖所示：第一個在 37% 拒絕階段後出現的人，只有稍微較高的評價，而決策者無從知道最佳的人選排在第一位後面，根據第二限制，無法反悔自己的決定，於是只好含淚與最佳人選擦身而過，這就是因為不可知的隨機性所導致的較佳而非最佳選擇風險。 另一個風險，則被我戲稱為珍奧斯丁的風險。在 Fry 的演講中，Fry 引用珍奧斯丁的話：「當女人過了二十七歲尚未結婚，便不會對感受或擁有愛情保持希望。」（An unmarried woman of seven and twenty can not hope to feel or inspire affection again）。 使用最佳停止理論來選擇長期伴侶的另外一個風險就是，當你依照最佳停止理論，拒絕任何人出現在前 37% 的時間成為長期伴侶，最後卻發現在後 63% 的時間後，無法再遇見拒絕階段時間內更好的人選，結果你只能孤獨終老，或許養幾隻貓作伴，在壁爐旁織著毛線衣邊感嘆過去錯失的良機。（如下圖所示，最佳的人選出現在拒絕階段的第一位擁有最高長條圖的人形） 那麼，倒底該不該使用最佳停止理論作為準則來選擇自己的終生伴侶呢？一個人的人生充滿了難以預測性的機遇，因為不知道最佳伴侶會出現在哪個時段，只有到晚年後，才能以回顧的方式瞭解自己在某個時間點做的選擇對人生的影響。 但，即使是孤獨終老，若能像珍奧斯丁，在她細膩又優雅的文筆下，寫出了一本本經典愛情小說，在擁有獨立的經濟來源和源源不斷的創作動力中，找到別於孤獨終老這樣抑鬱的晚景，更加積極圓滿的生活態度，似乎與ㄧ生最愛擦身而過，也不是這麼難以忍受的事。 再者，即使現在的伴侶，極有可能只是較佳伴侶，那又如何呢？因為不知道最佳伴侶是否真的會出現在未來的時光裡，倒不如像 Fry 一樣在情人卡片上寫上羅曼蒂克的話語：「親愛的老公，你比我遇見的前 37% 的約會對象，還稍微不那麼差！」（見下圖） 如何避免離婚 (How to Avoid Divorce) 最後，Fry 則提出如何避免離婚的建議。在現代社會中，高離婚率似乎是不可避免的現象。在缺乏確切量化的特徵，預測夫妻會不會離婚似乎是一件看似不可能的任務。然而心理學家 John Gottman 決心去研究是什麼造成夫妻離婚的變數，並期望能基於這些變數預測夫妻兩人是否會走上離婚一途。 Dr. John Gottman 不僅是一位心理學家更是婚姻關係的治療師，他成立了 Gottman Institute，以科學方法來檢測婚姻關係治療的成效。為了能夠預測且了解夫妻離婚的原因，Gottman 量測了上百個特徵值，包括夫妻互動時的生理特徵如臉部表情，心跳，皮膚導電性（skin conductivity）「註二」等等，到非生物性的特徵例如夫妻兩人的對話，接話的頻率等等。Gottman 從這些夫妻互動的錄像中取出可觀測的特徵。並由這些特徵值，推導出可量化夫妻互動的預測因子。並由這些預測因子建立了準確度高達 90 % 的離婚預測數學模型。 在眾多收集的特徵中，Gottman 發現最主要預測離婚率的特徵值是爭吵時夫妻採取的態度，以及是否在爭吵時彼此僵持的論點導致更多負面的爭論。如下圖所示：圖下方所示的高離婚風險夫妻（High Risk Couple）在對話中呈現持續下降的互動分數。相反的，低離婚風險夫妻（Low Risk Couple），則在一定的起落後逐漸往正面的互動方向攀升。 Gottman 和生物數學家 James Murray 合作後導出了所謂的婚姻公式（Marrige equation），見下圖。 公式中夫妻兩人隨著時間變動的互動分數可以分成三個主要相加項。包括了彼此在獨處或是相處時的心情，以及如何影響對方的反應。其中，夫妻兩人如何影響彼此的心情是夫妻關係中是否會增強負面互動的主要因素。從這個因素中，可以引導出負面閥值（negative threshold）的概念。 在一般人的想象中，維持好的婚姻應該包括妥協，犧牲和容忍，因此需要較高的負面閥值來忍受對方的缺點。然而 Gottman 團隊的研究卻顯示相反的結果，要維持一段長久的婚姻關係，與其委曲求全，不如對彼此相異的地方擁有抱怨的空間，卻仍然對彼此的關係有著正面的態度，且不停地企圖修補彼此的關係。也就是與大多數人認知相反的，夫妻間對彼此有較低負面閥值，卻又不至於讓小爭吵成為不可挽救的大問題。然而預測離婚率僅僅是這個公式的小小貢獻，這個公式恰巧與預測兩個武力競爭的國家是否會發動核子戰爭相同，這樣以小見大的類推，讓人不禁莞爾一笑。 透過 Fry 幽默又風趣的演講，數學似乎不再是枯燥的代數和符號，反而是解釋以及量化人與人之間關係的工具，誠如 Fry 在這個演講中，所要著重的不僅僅是應用數學來讓自己的戀愛關係一帆風順，更希望透過引入數學分析的技巧在日常生活中，而讓許多人更能認識數學之美。我們不一定能在短暫的一生中找到相知相惜的伴侶，但我們卻能藉著學習，克服對數學的恐懼，進而找到投注一生的熱情。 「註一」事實上，OkCupid 量測的是上個月獲得訊息的數目(Messages received last month)，因為這是一個回顧（cohort）的分析。 「註二」皮膚導電性（skin conductivity)：通常人在興奮或大量流汗時都會造成皮膚導電的差異，此差異通常可應用於測謊。 延伸閱讀： Hannah Fry 有關於最佳停止理論更詳細的說明 John Gottman 有關於預測離婚率研究基礎的詳細說明
