上古漢語的邏輯結構 027

閱讀時間約 4 分鐘

1.0 從函數到函算語法


raw-image


1.2 函數概念小史

1.2.1 中譯的來源

1.2.2 一個速度問題

1.2.3 幾何的方法

這一百廿一頁其實只是第一版的一個附錄,名為「幾何學」。除了坐標系統的引進,笛卡兒明顯地結合了幾何和代數的語言。事實上,所謂「解析幾何」就是用代數方法表述被定義的幾何特性。

笛卡兒明確指出,一條幾何曲線可以用一條含兩個變元的等式表示。在解析幾何中,最簡單的曲線就是直線。按歐幾里得幾何的假設,兩點之間最短的距離是一條直線。我們稱第一點為「A」,第二點為「B」。在笛卡兒的 x-y 平面 (坐標系統) 上,我們用「x1, y1」界定 A,用「x2, y2」界定 B。假設 的左下方,便在 的右上方﹔因此 x1 的值比 x2 的值小和 y1 的值比 y2 的值小,故有 x1 < x2 y1 < y2。我們可從 A 劃一條與 x 軸平行的線,再從 B 劃一條與 y 軸平行的線﹔兩線相交的點,我們稱它為「C」。

這時,我們有一個直角三角形,  變成《周髀算經》上說的「弦」(斜線)。要求得弦的值,可用「勾股定理」25﹕「…故折矩,勾廣三,股修四,經隅五」。假如三﹑四為直角的兩邊 (勾﹑股),求弦的值。弦的開方為勾股各自開方的和。設 AB 為勾,BC 為股,d (即 AC) 為弦,我們有 d2 = (AB)2 + (BC)2AB 已知為 3BC 已知為 4,故 d2 = 32 + 42,或

raw-image

d = 5。用在平面上,我們有

raw-image

因此,

raw-image


這樣的表述用蘊含變元的代數等式 (或不等式) 呈現,而變元的替換集 (replacement set) 為 即笛卡兒幾何的基礎﹕實數連續統 (real number continuum)。笛卡兒幾何之被稱為「解析幾何」(analytic geometry) 乃因為,籠統地說,分析 (analysis) 是數學中處理具連續域 (continuous domain) 的變元的部份。有了這套代數語言,關於幾何命題的證明便只不過是代數等式或不等式的操縱,或者用數學史家埃德娜‧克雷默的說法﹕證明便只不過是 al-jabr w’almuqabalah (等式中項的換位和簡縮) 那麼一回事。26 [Kramer 1981: 143]

明顯地, 以笛卡兒的坐標系統為參考框架的任一曲線上的任何一點都可以用坐標系統中的縱橫兩軸決定,即 x-y 平面上的任何一點都可以用兩個變元來界定,而兩個變元指稱的變量有一個因應的關係

起碼,在上述求取弦的代數等式中,各變元之間形成某種關係是可以觀察得到的現象。

__________

25 漢語學界有時亦稱之為「商高定理」。商高為西周人 (公元前十一世紀),據《周髀算經》的記載,商高在與周公的談話中舉例說明了「商高定理」的用法。《周髀算經》卷上一開始便有這樣的敘述﹕「昔者周公問於商高曰,竊聞乎大夫善數也,請問古者包犧接立周天曆度,夫天不可階而升,地不得尺寸而度,請問數安從出,商高曰數之法出於圓方,圓出於方,才出於矩,矩出於九九八十一,故折矩,以為句廣三,股四,逕隅五,既方之外半其一矩,環而其盤得三四五,兩矩共長二十有五是謂積矩,故禹之所以治天下者,此數之所生也,…」。比商高晚了六百多年的畢達哥拉斯年青時學於埃及,很可能從阿拉伯人處得悉這條定理。歐洲人稱此定理為「畢達哥拉斯定理」。由於缺乏確鑿的文獻證明,後人不知道此定理的最早期發現者,據我們現時所知,這條定理在畢達哥拉斯時期已為當時的數學家普遍知悉。這條定理似乎在不同時期在不同定地域多次被發現。至於命名方面,我傾向於反對「商高定理」的標簽。原因很簡單,文本中的商高沒有「定理」的觀念,事實上,在西方數學登陸中國本土之前,中國本土的數學並無「定理」的觀念。所以,如若漢語學界要強調中土亦曾有過這方面的思考,「勾股弦定理」是一選項,或簡稱為「勾股定理」(有勾股必有弦之故)。

26 今日的代數源自波斯 (今日的伊朗) 數學家阿布‧穆罕默德‧花刺子密 (Abu Muhammad Al-Khwarizmi: 生卒於公元八-九世紀,正值歐洲的中世紀),他寫了一部著作,名為「al-jabr w’almuqabalah」,即等式中項的換位和簡縮的意思。這份數學文獻的簡稱為「al-jabr」,歐人將此簡稱拼寫為「algebra」,漢語稱之為「代數」。

待續

5會員
276內容數
我們這裡談兩個東西: 哲學和邏輯,以及與哲學和邏輯相關的東西。 首先開設的房間是《綁架愛麗絲 之 地下邏輯》。 隨後將陸續開設《綁架愛麗絲 之 鏡像語言》和《上古漢語的邏輯結構》。 聯絡作者﹕[email protected]
留言0
查看全部
發表第一個留言支持創作者!
sen的沙龍 的其他內容
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 一 因此打從輪廓的浮現,萌牙狀態的函數概念是一個幾何圖象。 有趣的是,兩個世紀之後,即公元十六世紀,歐洲文藝復興如日中天,法國數學家及哲學家勒內‧笛卡兒承襲
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 函數是數學分析的一大基石,所以從巴比倫﹑古印度﹑古中國到古希臘的數學文獻都有函數的影子,雖然函數概念還不備可供鑒辨的輪廓,其中一個原因是數學的語言還沒有成熟。文字的描述或簡單的算術圖表很
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 數學中函數概念的重要性難以盡書,亦很難想像沒有函數概念的數學可以走多遠。誇張一點,我們可以說很大部份的數學都是按函數概念操作的。但少有人留意到,在某個意義上,函數可說是數學語言的一個語構處理。 漢語「函數」一詞乃
1.0 從函數到函算語法 1.1 句子成份 十 按《文通》的意見,句必有起﹑語兩詞,這是最基本的句子結構。「字之為語詞,動字居多」。動字又分外動字和內動字。如是外動字,必有止詞,位於其後。22 如是內動字則不可以有止詞。如語詞非動字,而是靜字,用作語詞的靜字則稱為「表詞」。如表詞不用靜
1.0 從函數到函算語法 1.1 句子成份 九 屈折變化沒有標誌句子成份如何構成句子的規則﹗這是我們的另一個觀察。句子成份屬規範性的操作指引。現再返回《文通》的意見。《文通》將詞分成七種便是語法上的規範性指引。就句讀而言,《文通》說﹕ 「夫文者,集句以成,如錦繡然,故謂之文。欲知文,
1.0 從函數到函算語法 1.1 句子成份 本書關注的是句子成份的分析。 如前述,詞類和句子成份是兩個很不一樣的概念。 詞類的劃分屬歸類性的描述。我們先有一個給定的詞彙,然後劃分若干詞類,比如名詞﹑動詞﹑形容詞等,再進而對詞彙中的每一個詞進行分類,即說某詞屬名詞﹑某詞屬動詞﹑某詞可以是名
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 一 因此打從輪廓的浮現,萌牙狀態的函數概念是一個幾何圖象。 有趣的是,兩個世紀之後,即公元十六世紀,歐洲文藝復興如日中天,法國數學家及哲學家勒內‧笛卡兒承襲
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 函數是數學分析的一大基石,所以從巴比倫﹑古印度﹑古中國到古希臘的數學文獻都有函數的影子,雖然函數概念還不備可供鑒辨的輪廓,其中一個原因是數學的語言還沒有成熟。文字的描述或簡單的算術圖表很
1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 數學中函數概念的重要性難以盡書,亦很難想像沒有函數概念的數學可以走多遠。誇張一點,我們可以說很大部份的數學都是按函數概念操作的。但少有人留意到,在某個意義上,函數可說是數學語言的一個語構處理。 漢語「函數」一詞乃
1.0 從函數到函算語法 1.1 句子成份 十 按《文通》的意見,句必有起﹑語兩詞,這是最基本的句子結構。「字之為語詞,動字居多」。動字又分外動字和內動字。如是外動字,必有止詞,位於其後。22 如是內動字則不可以有止詞。如語詞非動字,而是靜字,用作語詞的靜字則稱為「表詞」。如表詞不用靜
1.0 從函數到函算語法 1.1 句子成份 九 屈折變化沒有標誌句子成份如何構成句子的規則﹗這是我們的另一個觀察。句子成份屬規範性的操作指引。現再返回《文通》的意見。《文通》將詞分成七種便是語法上的規範性指引。就句讀而言,《文通》說﹕ 「夫文者,集句以成,如錦繡然,故謂之文。欲知文,
1.0 從函數到函算語法 1.1 句子成份 本書關注的是句子成份的分析。 如前述,詞類和句子成份是兩個很不一樣的概念。 詞類的劃分屬歸類性的描述。我們先有一個給定的詞彙,然後劃分若干詞類,比如名詞﹑動詞﹑形容詞等,再進而對詞彙中的每一個詞進行分類,即說某詞屬名詞﹑某詞屬動詞﹑某詞可以是名
你可能也想看
Google News 追蹤
Thumbnail
接下來第二部分我們持續討論美國總統大選如何佈局, 以及選前一週到年底的操作策略建議 分析兩位候選人政策利多/ 利空的板塊和股票
Thumbnail
🤔為什麼團長的能力是死亡筆記本? 🤔為什麼像是死亡筆記本呢? 🤨作者巧思-讓妮翁死亡合理的幾個伏筆
Thumbnail
在博客來上有一本叫做《秦漢帝國與沒有歷史的人:殖民統治下的古代四川》的書,作者是現在任教於中央大學中文系的胡川安⋯⋯
Thumbnail
https://www.youtube.com/watch?v=nfSdk5YDQaA 上邪!牽手毋通放手(台語吟唱/河洛話) 上邪!我欲與君相知 長命無絕衰 一見鐘情是我第一擺看著汝就註定 顒望牽汝之手毋通放手 山無稜 江水為竭 就算山頭攏磨平去 江水攏焦去 我顒望合
Thumbnail
我們漢音,在中國傳統文化裡頭,是一個特色的語音文化。有些字詞,它是二合 (音)、三合(音) 的 -- 就好比日文,就它一個字,但是兩個音 -- 這兩個音是同時發的......這有點像他西安人的那個連音制。假如各位,要唱華嚴字母,只有用漢音發音。你不能用普通話發音,一定唱不好......
二三七:「三陽合病」,腹滿,身重,難以轉側,口不仁而面垢,譫語,發汗則譫語甚;下之,則額上出汗,手足厥冷,遺尿;若自汗出者,「白虎湯」主之。 「三陽合病」,太陽的頭痛發熱,陽明的惡熱,少陽的往來寒熱等證皆俱,「腹滿」,腹滿有兩種情況,一是脾濕盛,二是腸子中有宿便,前者是陰證,腸胃虛寒、胃熱不足;後
Thumbnail
台語到底是欲用啥物字來寫?是教會兮羅馬字,抑是漢字較好咧?前一陣子,關於台語書寫的未來,是要走向全羅馬字呢?漢字是否應該從台語消失?
Thumbnail
漢娜的遺言—13 reasons why 撰寫於2017年08月17日;第二版2022年05月27日 還記得當年漢娜一卷卷錄影帶嗎? 那年夏天開始欣賞 Netflix 改編Jay Asher 的同名小說Thirteen Reasons Why 故事開頭—漢娜與她的13卷錄音帶
Thumbnail
沒有張哲瀚的日子是痛苦的,他曾經使用過的IG帳號貼了新的文章、上傳了新影片、預告要直播。所以......他回來了嗎? 在這個問題之前,或許先該看看,其他因為「政治問題」被封殺的中國人回來了嗎?怎麼回來的?
Thumbnail
明朝羅貫中所著的「三國演義」固然是精彩的文學作品,但是三國時代畢竟與羅貫中相差一千多年,而我們又與羅貫中相差六七百年,所以,我們還是很有空間可以重新檢視三國歷史,思索不一樣的「三國文學」相關議題。究景,諸葛亮向劉備提出的「隆中對」,對漢末情勢起了什麼樣的變化呢? 一起來探討吧!
Thumbnail
我們會針對新約福音書中幾個寓言進行分析。任何偶然看到這篇文章的虔誠基督徒,我可以向你們保證,你們閱讀這篇文章不會有任何損失。相反,你們可能會對自己的信仰及其奧秘有更深刻的了解。
Thumbnail
漢字就像是用一個個的零件所組合而成的 剛開始看漢字相關書籍時,不知有沒有老師跟我一樣,常被「部首」、「部件」、「偏旁」、「偏旁部首」等名詞,弄得暈頭轉向。  誒……要是有老師跟我一樣的,可以來看看這篇喔!
Thumbnail
接下來第二部分我們持續討論美國總統大選如何佈局, 以及選前一週到年底的操作策略建議 分析兩位候選人政策利多/ 利空的板塊和股票
Thumbnail
🤔為什麼團長的能力是死亡筆記本? 🤔為什麼像是死亡筆記本呢? 🤨作者巧思-讓妮翁死亡合理的幾個伏筆
Thumbnail
在博客來上有一本叫做《秦漢帝國與沒有歷史的人:殖民統治下的古代四川》的書,作者是現在任教於中央大學中文系的胡川安⋯⋯
Thumbnail
https://www.youtube.com/watch?v=nfSdk5YDQaA 上邪!牽手毋通放手(台語吟唱/河洛話) 上邪!我欲與君相知 長命無絕衰 一見鐘情是我第一擺看著汝就註定 顒望牽汝之手毋通放手 山無稜 江水為竭 就算山頭攏磨平去 江水攏焦去 我顒望合
Thumbnail
我們漢音,在中國傳統文化裡頭,是一個特色的語音文化。有些字詞,它是二合 (音)、三合(音) 的 -- 就好比日文,就它一個字,但是兩個音 -- 這兩個音是同時發的......這有點像他西安人的那個連音制。假如各位,要唱華嚴字母,只有用漢音發音。你不能用普通話發音,一定唱不好......
二三七:「三陽合病」,腹滿,身重,難以轉側,口不仁而面垢,譫語,發汗則譫語甚;下之,則額上出汗,手足厥冷,遺尿;若自汗出者,「白虎湯」主之。 「三陽合病」,太陽的頭痛發熱,陽明的惡熱,少陽的往來寒熱等證皆俱,「腹滿」,腹滿有兩種情況,一是脾濕盛,二是腸子中有宿便,前者是陰證,腸胃虛寒、胃熱不足;後
Thumbnail
台語到底是欲用啥物字來寫?是教會兮羅馬字,抑是漢字較好咧?前一陣子,關於台語書寫的未來,是要走向全羅馬字呢?漢字是否應該從台語消失?
Thumbnail
漢娜的遺言—13 reasons why 撰寫於2017年08月17日;第二版2022年05月27日 還記得當年漢娜一卷卷錄影帶嗎? 那年夏天開始欣賞 Netflix 改編Jay Asher 的同名小說Thirteen Reasons Why 故事開頭—漢娜與她的13卷錄音帶
Thumbnail
沒有張哲瀚的日子是痛苦的,他曾經使用過的IG帳號貼了新的文章、上傳了新影片、預告要直播。所以......他回來了嗎? 在這個問題之前,或許先該看看,其他因為「政治問題」被封殺的中國人回來了嗎?怎麼回來的?
Thumbnail
明朝羅貫中所著的「三國演義」固然是精彩的文學作品,但是三國時代畢竟與羅貫中相差一千多年,而我們又與羅貫中相差六七百年,所以,我們還是很有空間可以重新檢視三國歷史,思索不一樣的「三國文學」相關議題。究景,諸葛亮向劉備提出的「隆中對」,對漢末情勢起了什麼樣的變化呢? 一起來探討吧!
Thumbnail
我們會針對新約福音書中幾個寓言進行分析。任何偶然看到這篇文章的虔誠基督徒,我可以向你們保證,你們閱讀這篇文章不會有任何損失。相反,你們可能會對自己的信仰及其奧秘有更深刻的了解。
Thumbnail
漢字就像是用一個個的零件所組合而成的 剛開始看漢字相關書籍時,不知有沒有老師跟我一樣,常被「部首」、「部件」、「偏旁」、「偏旁部首」等名詞,弄得暈頭轉向。  誒……要是有老師跟我一樣的,可以來看看這篇喔!