深奧的簡潔

蔡孝祺

2024/08/23閱讀時間約 6 分鐘

深奧的簡潔

Deep Simplicity

John Gribbin 2015 商周出版

分類：論說--理論

★★★☆☆

一句話：

混沌和複雜的現象，可能是簡單法則所形成的結果。作者以此為起點試著解釋宇宙之中的各種現象以及生命的誕生。

重要字句：

混沌理論：研究非線性系統中，物體不斷以簡單規則複製前面的運動狀態之後，產生的各種複雜結果(週期性、平衡、混亂等等)。關鍵在於初始條件以及自身的回饋(feedback)。

吸子attractor：系統進入最終的平衡狀態(能量最低)。

本書所說的混沌是有序的、決定式的，只是實際預測的細節趕不上真實事件發生的速度。

碎形：一個幾何形狀可以分成數個部分，每一部分都是整體縮小後的形狀。

摘要：

我們在周遭世界所見的複雜行為，只是從深奧的簡潔中所浮現出的複雜現象。 -- Richard feynman

三體問題：牛頓的運動定律可以被簡單地敘述，也可證明單一行星環繞太陽的軌道方程式是可決定的橢圓形軌道，但三體問題卻沒有解析解，產生混亂而且無法預測的行為。

熱力學定律：熵的增加表示混亂度增加，可作功的能量轉化為不可作功的能量。真實世界中封閉系統的混亂度隨時間增加，因此熵的增加可以定義出時間的方向。但生命又是從沒有秩序的物質中製造出秩序與構造。

有時初始條件的微小差異，將造成最終現象的極大改變。前者的小誤差，會造成後者極大的錯誤。預測將成為不可能的事。-- Jules Henri Poincaré

龐加萊運用相空間以及龐加萊切面證明了三體運動是發散的，尤其是非線性系統，只要初始狀態有一點點不同整個系統的軌跡就會有完全不同的路徑，所以不可能預測，也就是所謂的蝴蝶效應。

傳統的牛頓力學可決定性與可預測性是一致的，也就是知道方程式或是結果就可以預測或回推起始狀態。但我們計算和預測星球的軌道並不像牛頓定律一樣是可逆的，只是以人類的時間尺度來看是種受限的混沌，計算出的軌道大同小異。

後勤方程式logistic equation：dP/dt = rP (1-P/K)，其中P為族群規模，r為族群增長率，K為環境承載力(可維持人口數)。如果族群數很小成長率就近似rP。這個簡單的公式就能產生許多複雜的結果，如果r小於1則必然滅絕，如果r在1到3之間則會達到穩定狀態(吸子，當R接近3時落在0.66)，但當r大於3則會出現在收斂到不同族群數震盪的狀況。r=3.56999時，族群可能收斂的吸子有無限多。最後可以看到同樣的模式不斷在更小的尺度中重複的「自我類似模式」，在秩序中存在混沌，混沌中又有秩序。

費根堡以數學證明這種週期倍增分岔（period-doubling bifurcations）發生時的參數之間的差率是一個常數4.6692016，也就是1分2、2分4的位置是有規律的，前兩次分叉之間的距離除以兩次分叉之間的距離的比值就是費根堡常數。

碎形fractal：皮亞諾創造了一條可以填滿平面(二維)的曲線(一維)，是一個非整數維度的實體。碎形在小尺度上不斷出現自我相似性，以及具有遞迴(回饋)性，因此碎形和混沌之間存在著關聯。曼德博集合只用一個簡單的複數方程式c=c^2 + b就能產生出複雜的碎形。

碎形的例子：海岸線；生物系統可以由簡單的DNA生命碼形成各種複雜的器官(質量增長新陳代謝率增加的指數是2.25、肺部和腎臟的血管系統)

冪次律：地震的強度和頻率(相對於每1000次的五級地震，大約會發生100次六級，10次七級地震)；碎形也可看見冪次律。碎形的特性是無尺度的，也就是說大地震的確比小地震不常發生，但它們基本上是由相同的物理過程產生的，它們就是會隨機發生，只是頻率不同。城市的人口數也符合冪次律，儘管我們根據自由意願決定居住於何處。生物滅絕的物種數量規模和發生頻率也符合冪次律，並不一定要發生隕石撞擊才會發生大滅絕。

1/f雜訊：事件發生機率等於1除以其尺寸的某個指數，或是事件的大小和1除以它發生頻率的某個指數成正比。1/ƒ雜訊發生在很多物理、生物甚至經濟系統當中，應用在聲波中白色雜訊就是隨機的靜電干擾雜音，而音樂和說話的聲音則具有1/f結構，也就是說1/f雜訊儲存了資訊。塞車的情況也存在1/f雜訊和碎形模式，這表示不需要特殊的巨大事件就能產生大塞車，任何情況的塞車都能被最小的干擾誘發。股市的震盪一樣遵循冪次律和有1/f雜訊，經濟一樣是混沌邊緣自我組織的動態系統。

型態發育的化學基礎：圖靈以數學模型解釋胚胎的發育，圖靈模型又稱為反應-擴散模型（reaction-diffusion model），指的是不同訊息因子(催化或抑制)在空間中擴散和交互作用的結果，出現像BZ反應(Belousov-Zha-botinsky reaction)這樣的化學震盪，而不像熱力學第二定律描述的靜止均勻狀態(熱力學過程的不可逆性，孤立系統自發地朝著熱平衡方向，也就是最大熵狀態演化)。它可以用來解釋動物表皮的花紋如何形成。胚胎發生過程中很小的作用就能發生很大的改變，這也是演化的動力來源。

生命的誕生：最初生命的誕生可能也是遵循這個法則，許多化合物不斷連結反應形成分子網路後自我組織而成。細胞層級的功能也可能是如此運作，生物細胞種類的數目與DNA數目成正比，互相連結回饋的基因以隨機狀態出發，透過數學運算發現它們能夠穩定在兩三百個狀態迴圈中(吸子，表示各種細胞的狀態)。放大至生態系的層級，生態網路物種間的相互作用也會發展成為自我組織的臨界狀態，產生演化的動力，不需額外的外在干預就會發生遵循冪次律的物種滅絕，就算加入額外的衝擊去運算，仍然產生符合冪次律的滅絕模式。

蓋婭理論：將地球視為一個自我調節的系統，地球上生物的行為改變了物理(無生物)景觀與生物景觀，兩者都同時以迴饋的作用來影響適應性景觀，產生一個自我組織的臨界狀態。當演化系統被視為整體而非個別部份時，控制演化的物理定律將變得更簡單。實際觀察案例是硫元素在環境中的流動，硫化物被河水從陸地上帶走，海洋的有機生物為了對抗海水中的氯化鈉穿透細胞膜，在細胞內形成二甲硫丙酸，海藻死亡後硫化二甲烷DMS釋放回空氣中。DMS可以形成凝雲核，海上的雲反射許多太陽能。因此自我組織的迴饋機制發生，當海藻增加，陽光就減少，生物活動便衰退，反之亦然。而雲對氣候的影響也將養分帶到生物貧瘠的區域，自我組織中的生物都以自身的最佳利益來進行運作，卻維持了網路的穩定。