函數的性質
函數是一種輸出對應到輸入的規則，用來描述輸入輸出之間的關係。表示成:
y = f(x)
例如，函數f(x) = x^2表示輸出值都對應到 x 值的平方。函數可以具有不同的性質，以下是一些重要的概念:
- 定義域（Domain, D）：函數的輸入值範圍，即哪些 x 值的範圍可以帶入函數計算。
- 值域（Range, R）: 函數可能產生的輸出值範圍。
- 奇偶性（Odd/Even Function）:
- 偶函數：若f(-x) = f(x)，則函數圖形對稱於 y 軸。
- 奇函數：若f(-x) = -f(x)，則函數圖形對稱於原點。
基本函數
多項式函數
例如f(x) = x^2 - 2x + 1。
分段函數
分段函數是一種 在不同區間內有不同定義方式 的函數。它的表達方式如下：
這類型的函數通常是建模在不連續或分段變化的現象上。
例如絕對值函數f(x) =|x|，我們可以將其寫為以下的分段表達:
另外一個直觀的例子是: 假設一家公司根據購買量來決定運費:
高斯函數
不大於本身之最大整數，如[2.5]=2、[-2.4]=-3、[-0.5]=-1
又稱階梯函數，可歸納成以下表示法:
又有以下幾種的高斯函數:
⌊x⌋代表小於或等於 x 的最大整數、⌈x⌉代表大於或等於 x 的最小整數。
三角函數
例如: f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)、f(x) = tan(x) ...等。
這邊我們一樣可以確認三角函數的奇偶性:
例如sin(-x) = -sin(x)，為奇函數，所以圖形對稱於原點:
例如cos(-x) = cos(x)，為偶函數，所以其函數圖形對稱於y軸:
以下是一些經過整理的三角函數的公式:
反函數
給定一個函數 f(x)，如果存在另一個函數 g(x) 使得：
則稱 g(x) 為 f(x) 的反函數（inverse function），記作:
要確保 f(x) 有反函數， f(x) 必須是一對一（one-to-one）的函數，也就是：
若 f(x) 是嚴格遞增或遞減，則它一定是一對一函數。我們可以透過水平線測試（Horizontal Line Test）來測試: 如果水平線最多與 f(x) 圖像交於一點，則它是一對一函數，因此可求反函數。
例如:
f(x) = x^2在整個實數範圍內並非一對一，因為f(-2) =f(2) = 4。
但若限制定義域為 x≥0，則f(x) = x^2是遞增函數，因此可求反函數。
反函數的求法就是將函數寫成 y = f(x)，交換 x 和 y，即讓 x = f(y)，最後解出 y，這個新的 y 就是:
指數函數(Exponential Function)
指數函數是具有以下形式的函數：
其中:
- 底數 a 是一個正數且a ≠ 1。
- 指數 x 是實數
指數函數的基本特性:
- 當 a > 1，指數函數遞增
- 當 0 < a < 1，指數函數遞減
- x=0 時，所有指數函數的值都為1
圖形如下所示:
一些基本性質如下:
對數函數
對數函數是指數函數的反函數，其一般形式為:
其中:
- a 是底數（a > 0且 a ≠ 1)
- x > 0
- y 是指數的值，使得:
圖形如下所示:
一些基本性質如下:
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