大學微積分題解-函數

函數的性質

函數是一種輸出對應到輸入的規則，用來描述輸入輸出之間的關係。表示成:

y = f(x)

函數可以具有不同的性質，以下是一些重要的概念:

• 定義域（Domain, D）：函數的輸入值範圍，即哪些 x 值的範圍可以帶入函數計算。
• 值域（Range, R）: 函數可能產生的輸出值範圍。
• 奇偶性（Odd/Even Function）:
• • 偶函數：若f(-x) = f(x)，則函數圖形對稱於 y 軸。
  • 奇函數：若f(-x) = -f(x)，則函數圖形對稱於原點。

基本函數

多項式函數

例如f(x) = x^2 - 2x + 1。

分段函數

分段函數是一種 在不同區間內有不同定義方式 的函數。它的表達方式如下：

這類型的函數通常是建模在不連續或分段變化的現象上。

例如絕對值函數f(x) =|x|，我們可以將其寫為以下的分段表達:

另外一個直觀的例子是: 假設一家公司根據購買量來決定運費:

高斯函數

不大於本身之最大整數，如[2.5]=2、[-2.4]=-3、[-0.5]=-1

又稱階梯函數，可歸納成以下表示法:

又有以下幾種的高斯函數:

⌊x⌋代表小於或等於 x 的最大整數、⌈x⌉代表大於或等於 x 的最小整數。

三角函數

例如: f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)、f(x) = tan(x) ...等。

這邊我們一樣可以確認三角函數的奇偶性:

例如sin(-x) = -sin(x)，為奇函數，所以圖形對稱於原點:

例如cos(-x) = cos(x)，為偶函數，所以其函數圖形對稱於y軸:

以下是一些經過整理的三角函數的公式:

反函數

給定一個函數 f(x)，如果存在另一個函數 g(x) 使得：

則稱 g(x) 為 f(x) 的反函數（inverse function），記作:

要確保 f(x) 有反函數， f(x) 必須是一對一（one-to-one）的函數，也就是：

若 f(x) 是嚴格遞增或遞減，則它一定是一對一函數。我們可以透過水平線測試（Horizontal Line Test）來測試: 如果水平線最多與 f(x) 圖像交於一點，則它是一對一函數，因此可求反函數。

例如:

f(x) = x^2在整個實數範圍內並非一對一，因為f(-2) =f(2) = 4。

但若限制定義域為 x≥0，則f(x) = x^2是遞增函數，因此可求反函數。

反函數的求法就是將函數寫成 y = f(x)，交換 x 和 y，即讓 x = f(y)，最後解出 y，這個新的 y 就是:

指數函數(Exponential Function)

指數函數是具有以下形式的函數：

其中:

• 底數 a 是一個正數且a ≠ 1。
• 指數 x 是實數

指數函數的基本特性:

• 當 a > 1，指數函數遞增
• 當 0 < a < 1，指數函數遞減
• x=0 時，所有指數函數的值都為1

圖形如下所示:

一些基本性質如下:

對數函數

對數函數是指數函數的反函數，其一般形式為:

其中:

• a 是底數（a > 0且 a ≠ 1)
• x > 0
• y 是指數的值，使得:

圖形如下所示:

一些基本性質如下:

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