生日悖論(Birthday paradox)

其實只要房間裡有23個人，則兩個人的生日相同的機率就高達50%!

而只要房間裡有60個人，兩人有相同生日日期的機率便會大於99%!

Julia程式碼

# 匯入套件StatsBase、Combinatorics、Plots以及PyPlot

using StatsBase, Combinatorics, Plots ; pyplot()

# 自定義一個函數(function)用來計算理論解

# 給定不同n(人數)的情況下，有兩人生日相同的機率

# 使用prod()這個函數，計算括弧內所有值的乘積(從365/365*364/365*…*1/365)即為

# 每人生日皆不同之機率，再用1去減

matchExists(n) = 1 — prod([k/365 for k in 365:-1:365-n+1])

# 自定義一個函數模擬房內有不同人數的情形，且定義方法與matchExists()有些差別。

# 首先，利用rand()隨機(uniform dist.)從1~365產出n個值，代表每個人的生日日期。

# 接著使用counts計算每個數字出現的次數並指派給dayCounts，

# 再來，用maximum()檢查dayCounts裡最大值是否大於1次，即是否有兩人生日相同

# 若是，回傳ture，反之則回傳false

function bdEvent(n)

 birthdays = rand(1:365,n)

 dayCounts = counts(birthdays, 1:365)

 return maximum(dayCounts) > 1

end

# 模擬重複試驗N次，並計算N次中有兩人生日相同的次數，再除以N，得到機率。

probEst(n) = sum([bdEvent(n) for _ in 1:N])/N

# 使用自定義之函數，計算理論上房內有1~60人時兩人有相同生日的機率

xGrid = 1:60

analyticSolution = [matchExists(n) for n in xGrid]

# 使用蒙地卡羅模擬法估計在房內有不同人之情況下，房內有1~60人時兩人有相同生日的機率

N = 10³

mcEstimates = [probEst(n) for n in xGrid]

# 將理論結果與蒙地卡羅模擬法估計出的結果繪製出來比較。

plot(xGrid, analyticSolution, c=:blue, label=”Analytic solution”)

scatter!(xGrid, mcEstimates, c=:red, ms=6, msw=0, shape=:xcross,

 label=”MC estimate”, xlims=(0,60), ylims=(0, 1),

 xlabel=”Number of people in room”,

 ylabel=”Probability of birthday match”,

 legend=:topleft)

從圖中可看出估計得非常準確，而當人數超過20時房內有人有相同生日日期的機率已經高達40%了，當房內有超過40人時，有人有相同生日日期之機率則高達90%!

有興趣可以至我的blog參考原文文章:https://www.juliansweb.com/julia-birthday-paradox