迷人的fractal圖案

解決了Spyder和turtle之間的不合後，就來畫些漂亮迷人的fractal圖案，也順便練習一下recursive function的寫法。

fractal最重要的性質就是self similarity，也就是不管是近看、遠看、縮小來看、放大來看、切一部份來看，它都是一個樣兒。所以recursive function是最適合用來畫fractal圖案的了。當然啦，最適合不代表唯一，不用recursion的方式來寫，還是可以畫得出來，有許多程式語言並不支援recursion，一樣可以做得到。

第一個畫的是Sierpinski triangle。畫法是把一個三角形中間挖個洞，然後再把剩下的所有三角形中間挖個洞，就這樣一直重複到滿意為止。

接下來畫的是Barnsley fern。這個比較簡單，就只是同樣的數學式子不斷迭代而已，不需用到recursion。雖然就只是幾條數學式子而已，但透過不斷迭代產生的結果，卻可以畫出以假亂真的蕨類圖案，這實在是太神奇了！

再來是fractal tree。設定好樹枝的長度和分叉的角度，以及分叉後的長度比例，就可以畫出一棵醜醜的雖然不像，但還是有那麼一點樣子的樹。如果讓樹枝多一點，看起來還真是有那麼些個異星植物的感覺。

一棵光禿禿沒有葉子的樹，看起來實在是蕭瑟寂寥，長些翠綠的葉子應該會有生氣一些。雖然Barnsley fern是蕨類，不過將就一點，就讓它長在樹上。那要怎麼個長法呢？原始的Barnsley fern是直立的，如果就那麼直接長在樹枝上，那說有多怪就有多怪，真正的樹葉可不會這麼長法。不如轉個角度，沿著樹枝的方向長。原始的Barnsley fern是從座標(0, 0)向上長的，只要繞著(0, 0)轉到想要的角度就可以了，高中數學就可以推導出需要的數學式。當然啦，網路上也查得到。

有翠綠葉子的樹，看起來就是不一樣。不過……這怎麼還是感覺怪怪的，不太對勁。

唉呦！這樹葉怎麼都朝順時鐘方向彎？難怪看起來怪怪的。讓在左半邊的葉子逆時鐘方向長好了，這樣看起來應該會自然一些。說是這麼說，不過要怎麼讓葉子逆時鐘方向長呢？既然現在葉子是沿著樹枝的方向長，那以樹枝的延長線為軸，把葉子翻面，應該就能達到目的了。用比較精確的數學語言來說，就是要找出葉子在樹枝延長線上的鏡像。這個也是高中數學就能辦到，網路上當然也找得到推導的方式。不過網路上找到的式子，是針對一般化的情況推導出來的，也就是那條軸線並不一定會通過原點，所以式子還真是有點複雜。在網頁上看數學式子簡直就是虐待人，除非那個網站有提供漂亮的數學排版功能。看到那一大串沒有數學排版功能寫出來的數學式子，把心一橫，乾脆自己推導好了。自己推導的好處是，可以針對需要的特殊狀況先簡化，而在推導的過程中，也可以一併想想要把式子寫成怎樣的形式，在最後寫程式的時候，可以寫得比較簡潔易懂又有效率。

數學式子推導出來了，雖然還是一串，但已經簡化了不少，而且相同的計算式，也都用同一個變數來表示，這樣寫程式的時候輕鬆多了。就在要動手寫程式的時候，突然想到：啊！幹嘛推導得這麼辛苦？先找出原始的Barnsley fern在y軸的鏡像，然後轉到需要的角度就可以了啊！要找出一個點在y軸的鏡像，就只需要把x座標乘上-1，也就是正變負或負變正就可以了，而旋轉角度的問題先前就解決了。所以啊，要讓葉子逆時鐘方向長，根本就不需要額外再做什麼事就能辦到。想想也真是好玩，就只是調整一下處理問題的方式和步驟，居然就能把原本需要費九牛二虎之力才能解決的問題，不費吹灰之力地處理掉。

現在左半邊的葉子逆時鐘方向長，看起來果然自然多了。不過俗話說：紅配綠，最美麗。有了綠綠的葉子，怎麼可以沒有紅紅的果子呢？讓每片葉子的葉柄前面長顆紅紅的果子好了。

就這樣，一幅由毫無藝術細胞的人所創作的曠世程式畫作，宣告完成！