統計急救箱─算術平均數

　　就算是沒有學過統計學的人，對於平均數這個名詞一定也不陌生。在台灣的基礎教育裡面，一定有學過平均數要怎麼計算，可以說是一個眾所周知的統計概念。不過關於平均數的一些小知識並不是人人都知道，因此這篇文章就來簡單介紹一下大家都學過的平均數有哪些特性。

平均數的類型

　　一般大眾口中所稱的平均數，正式名稱是「算術平均數」，是一種最通用的平均數。然而根據情況的不同，計算平均數的方式會有一些變化，產生了平均數的家族。例如調和平均數、幾何平均數、移動平均數等等。

　　不過在統計學當中最常使用的還是算術平均數，所以沒有特別說明的情況下，約定成俗都會認為「平均數」指的就是算術平均數，英文名詞為Mean。

平均數是拿來幹嘛的？

　　平均數的功能就是拿來代表一群數字的。假設今天有五個分數，將這五個分數平均之後就可以只用一個分數來代表這整群數字。

算術平均數的計算方式

　　算術平均數的計算方式很簡單，就是把一群數字全部加起來，然後除以該群數字的個數。

　　趁著這個機會，就用這種簡單的計算來解釋一下看起來可怕的數學公式。現在我們要先假設有五個數字，分別代表著1、2、5、7、11。

要計算這五個數字，第一個步驟就是把他們全部加起來：1 + 2 + 5 + 7 + 11 = 26。第二個步驟則是把他們除以這群數字的個數，也就是除以5：26 / 5 = 5.2。於是這五個數字的平均數就是5.2了。

如果用正式的數學公式表達，以下是算術平均數的數學公式：

　　接下來就把這個數學公式翻譯成白話文吧！

　　首先是那個看起來像是逆時針轉了90度的M的符號，是一個希臘字母，念作Sigma。其數學意義是「連加」，也就是把一群數字加起來的意思。Sigma的右側由下往上寫著小小的1和n，意思是把一群數字從第1個到第n個通通加起來。所以整個符號的完整念法是：Sigma從1到n。

　　Sigma右邊的x，就是這一群數字裡面的每個數字，依照x旁邊小小的i來決定是哪個數。X₁是這群數字的第1個數，X₂是第2個...X_i是第i個，而X_n就是第n個數字（如果你想知道怎麼決定哪個數字是第1個數，哪個是第2個...答案是隨你喜歡，反正最後就是要把全部的數字加起來）。

　　那我們要怎麼確定i代表的數字範圍到底是多大呢？答案是要看Sigma右邊那兩個小數字。Sigma右邊下方的小數字，就是i的起始值，上面的小數字則是終止值。所以當我們說：Sigma從1到n的X_i，就表示有一群數字（以X_i來表示），我們要把這群數字中的第1個到第n個都加起來。

　　因此平均數的公式也可以這樣寫（把Sigma拿掉的版本）：

最後分母的部分，因為分子是n個數字相加，所以分母就除以n。這裡的n表示的就是這群數字總共有n個。在上面舉的例子中，n就是5。

　　所以Sigma符號並不可怕，只要看到Sigma就知道它指的其實是要把一群數字通通加起來就是了。換個方式說，其實Sigma就是Excel裡面的SUM函數，就是把一個範圍之內的數字全部都加起來。

算術平均數的特性

1. 平均數類似於一群數值的中心點

　　那為什麼算術平均數可以拿來代表一群數字呢？這是因為算術平均數類似於這群數字的中心點。

​我們可以把一群數值分為「比平均數小」和「比平均數大」兩類（跟平均數一樣大的就不管它）。如同上圖中，1、2、5都比平均數 (5.2) 小，而7、11則比平均數還要大。而每一個數字，和平均數之間都會有一個距離，也就是圖中的藍色線段。

　　當我們計算所有「比平均數小」的數值和平均數之間的距離總和（上圖中平均數左邊的藍色線段總長度），也就是4.2 + 3.2 + 0.2 = 7.6。然後計算所有「比平均數大」的數值和平均之間的距離總和（上圖中平均數右邊的藍色線段總長度），也就是1.8 + 5.8 = 7.6。會發現兩邊距離總和是一樣的。

　　因此平均數就有點類似於天平的支點，兩邊的距離總和會相等，也因此可以代表整群數值（這個特性也使平均數比較不容易受到隨機誤差的影響，這個等到推論統計的範圍再討論）。

2. 平均數容易受極端值影響

　　雖然平均數可以代表一整群數字，但平均數有另一個重要特性，就是它很容易受到極端值的影響。

　　所謂的極端值，就是當一群數值中有一些超級大或者超級小的數值的時候，平均數就很容易因此變大或者變小。

　　在上面的例子中，試試看把11從一整群數值中刪去，會發現平均值從5.2變成3.75。可以發現只差一個數值，平均值就差了1.45。但如果我們把7刪除，平均數只會從5.2變成4.75。很顯然的，極端的數值對於平均數的影響比非極端的數值更大。

　　這個特性也是為什麼在算薪資結構的時候不應該用平均數，因為平均薪資太容易被賺很多很多錢的人給拉高，如果用平均薪資來當作國民所得的代表數，會高估大多數國民的收入，導致在政策上做出錯誤的決策。

　　容易受極端值影響的特性對於資料分析來說是非常重要的，這代表當資料集當中存在極端值的時候，要好好考慮該怎麼處理。常見的處理方式包括刪除、資料轉換或者使用其他統計方式，這個就等未來再說吧。

　　平均數的介紹其實非常的基礎，我也曾經想過要不要跳過這個部分。不過基於平均數的公式很好解釋，未來難免還是會需要在文章當中使用數學公式，就還是趁機寫一下好了。

　　關於平均數特性的介紹，大多數統計課本當中都有，我就不特別放reference上來了。