統計急救箱─算術平均數

2023/07/23閱讀時間約 5 分鐘

　　就算是沒有學過統計學的人，對於平均數這個名詞一定也不陌生。在台灣的基礎教育裡面，一定有學過平均數要怎麼計算，可以說是一個眾所周知的統計概念。不過關於平均數的一些小知識並不是人人都知道，因此這篇文章就來簡單介紹一下大家都學過的平均數有哪些特性。

平均數的類型

　　一般大眾口中所稱的平均數，正式名稱是「算術平均數」，是一種最通用的平均數。然而根據情況的不同，計算平均數的方式會有一些變化，產生了平均數的家族。例如調和平均數、幾何平均數、移動平均數等等。

　　不過在統計學當中最常使用的還是算術平均數，所以沒有特別說明的情況下，約定成俗都會認為「平均數」指的就是算術平均數，英文名詞為Mean。

平均數是拿來幹嘛的？

　　平均數的功能就是拿來代表一群數字的。假設今天有五個分數，將這五個分數平均之後就可以只用一個分數來代表這整群數字。

平均數的功能是用來代表一群數字

算術平均數的計算方式

　　算術平均數的計算方式很簡單，就是把一群數字全部加起來，然後除以該群數字的個數。

　　趁著這個機會，就用這種簡單的計算來解釋一下看起來可怕的數學公式。現在我們要先假設有五個數字，分別代表著1、2、5、7、11。

這裡有五個數字

要計算這五個數字，第一個步驟就是把他們全部加起來：1 + 2 + 5 + 7 + 11 = 26。第二個步驟則是把他們除以這群數字的個數，也就是除以5：26 / 5 = 5.2。於是這五個數字的平均數就是5.2了。

1、2、5、7、11的平均數是5.2

如果用正式的數學公式表達，以下是算術平均數的數學公式：

算術平均數的數學式

　　接下來就把這個數學公式翻譯成白話文吧！

　　首先是那個看起來像是逆時針轉了90度的M的符號，是一個希臘字母，念作Sigma。其數學意義是「連加」，也就是把一群數字加起來的意思。Sigma的右側由下往上寫著小小的1和n，意思是把一群數字從第1個到第n個通通加起來。所以整個符號的完整念法是：Sigma從1到n。

　　Sigma右邊的x，就是這一群數字裡面的每個數字，依照x旁邊小小的i來決定是哪個數。X₁是這群數字的第1個數，X₂是第2個...X_i是第i個，而X_n就是第n個數字（如果你想知道怎麼決定哪個數字是第1個數，哪個是第2個...答案是隨你喜歡，反正最後就是要把全部的數字加起來）。

　　那我們要怎麼確定i代表的數字範圍到底是多大呢？答案是要看Sigma右邊那兩個小數字。Sigma右邊下方的小數字，就是i的起始值，上面的小數字則是終止值。所以當我們說：Sigma從1到n的X_i，就表示有一群數字（以X_i來表示），我們要把這群數字中的第1個到第n個都加起來。

　　因此平均數的公式也可以這樣寫（把Sigma拿掉的版本）：

把Sigma拿掉後的平均數公式

最後分母的部分，因為分子是n個數字相加，所以分母就除以n。這裡的n表示的就是這群數字總共有n個。在上面舉的例子中，n就是5。

　　所以Sigma符號並不可怕，只要看到Sigma就知道它指的其實是要把一群數字通通加起來就是了。換個方式說，其實Sigma就是Excel裡面的SUM函數，就是把一個範圍之內的數字全部都加起來。

算術平均數的特性

平均數類似於一群數值的中心點

　　那為什麼算術平均數可以拿來代表一群數字呢？這是因為算術平均數類似於這群數字的中心點。

往左的藍色線段總長度和往右的藍色線段總長度相等

我們可以把一群數值分為「比平均數小」和「比平均數大」兩類（跟平均數一樣大的就不管它）。如同上圖中，1、2、5都比平均數 (5.2) 小，而7、11則比平均數還要大。而每一個數字，和平均數之間都會有一個距離，也就是圖中的藍色線段。

　　當我們計算所有「比平均數小」的數值和平均數之間的距離總和（上圖中平均數左邊的藍色線段總長度），也就是4.2 + 3.2 + 0.2 = 7.6。然後計算所有「比平均數大」的數值和平均之間的距離總和（上圖中平均數右邊的藍色線段總長度），也就是1.8 + 5.8 = 7.6。會發現兩邊距離總和是一樣的。

　　因此平均數就有點類似於天平的支點，兩邊的距離總和會相等，也因此可以代表整群數值（這個特性也使平均數比較不容易受到隨機誤差的影響，這個等到推論統計的範圍再討論）。