綁架愛麗絲 之 地下邏輯 070

6 Pig and Pepper: 邏輯力度 / 瘋論

豬和胡椒

十四

但好辯的我們﹐也不是無話可說啊。

數學和邏輯學中有個「域」(domain)⁵⁹ 的概念。 數學和邏輯學工作者在提出某條公式時﹐他們往往假設了一個域﹐有時明言﹐有時預設﹐主要是為了準確地進行論述。

譬如﹐根據意大利數學家皮亞諾 (Giuseppe Peano: 1858-1932) 的公理系統﹐設「0」為自然數﹐自然數 (natural numbers:1, 2, 3, 4, ..., n) 有這樣的一條公理﹕

「凡自然數 n﹐S(n) 為自然數」;

即凡自然數 n﹐n 的後繼項 (successor) 為自然數 (可以理解作 S(n) = n+1)。所謂「凡自然數 n」即預設自然數為這條公理的域﹐也就是說﹐這條公理僅在自然數域內為恆真。例﹕S(0) = 1﹐1 是自然數; S(1) = 2﹐2 是自然數; ...; S (1,999) = 2,000﹐2,000 是自然數; ...; 如此類推。

看一下這個句子﹕「凡 x 皆有後繼項」。

將域設為自然數﹐無論「x」是什麼﹐我們必然知道「S(x)」是個自然數﹐在自然數域內可以找得到。

現在我們將論域設為一個自然數域內的一個有限的域﹐就只有 1 和 2﹕{1, 2}。那麼﹐如果 x=1﹐S(x) = S(1) = 2﹐2 在 {1, 2} 內﹐沒有問題﹔如果 x=2﹐S(x) = S(2) = 3﹐3 不在 {1, 2} 內﹐所以﹐將域設為 {1, 2}﹐「凡 x 皆有後繼項」為假。

我們再看一看這樣的一個句子:「凡 x﹐S(x) 為自然數。」

放在自然數域內﹐即「x」只可以是自然數﹐S(x) 當然是自然數﹔因此在自然數域內﹐此句為真。

假如將域設為無理數 (irrational numbers)⁶⁰﹐如果 x=π﹐S(x) = S(π) (如理解作 π+1)﹐「π+1」顯然不是自然數﹔因此在無理數域內﹐此句為假。

又譬如「人皆有死」這樣的一個句子﹐將域設為凡人﹐則真﹐將域設為仙人 (假設有仙人﹐而且不死)﹐則假。

「域」的概念在日常生活中不被重視﹐故常出現概括性言論﹐硬塞給人家﹐粗暴無禮﹐論者卻習以為常﹐自以為是﹐當引以為戒。

言歸正傳﹐在瘋論中﹐柴郡貓對「不瘋」的界定是以狗 (的行為) 為論域﹐對「不瘋」的否定卻在貓 (的行為) 域中完成﹐所以有跨域論述之嫌。

跨域論述不一定會有問題﹐但可以出問題。

當然﹐瘋論的論域可以蓋括兔穴中的所有生物﹐並且以狗的行為為界定「不瘋」的準則﹐因此任何生物﹐包括貓﹐只要反其道而行之便是瘋了。

不可以嗎﹖

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⁵⁹ 漢譯有「論域」﹑「界域」或「定義域」等。

⁶⁰ 譬如﹕π, e, 狄奧德洛斯的常數 (Theodorus' constant﹔即 3 的平方根), ...。

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