上古漢語的邏輯結構 027

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

1.2.1 中譯的來源

1.2.2 一個速度問題

1.2.3 幾何的方法

二

這一百廿一頁其實只是第一版的一個附錄，名為「幾何學」。除了坐標系統的引進，笛卡兒明顯地結合了幾何和代數的語言。事實上，所謂「解析幾何」就是用代數方法表述被定義的幾何特性。

笛卡兒明確指出，一條幾何曲線可以用一條含兩個變元的等式表示。在解析幾何中，最簡單的曲線就是直線。按歐幾里得幾何的假設，兩點之間最短的距離是一條直線。我們稱第一點為「A」，第二點為「B」。在笛卡兒的 x-y 平面 (坐標系統) 上，我們用「x_1, y₁」界定 A，用「x₂, y₂」界定 B。假設 A 在 B 的左下方，B 便在 A 的右上方﹔因此 x₁ 的值比 x₂ 的值小和 y₁ 的值比 y₂ 的值小，故有 x₁ < x₂ 和 y₁ < y₂。我們可從 A 劃一條與 x 軸平行的線，再從 B 劃一條與 y 軸平行的線﹔兩線相交的點，我們稱它為「C」。

這時，我們有一個直角三角形，  變成《周髀算經》上說的「弦」(斜線)。要求得弦的值，可用「勾股定理」²⁵﹕「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五」。假如三﹑四為直角的兩邊 (勾﹑股)，求弦的值。弦的開方為勾股各自開方的和。設 AB 為勾，BC 為股，d (即 AC) 為弦，我們有 d² = (AB)² + (BC)² 。AB 已知為 3，BC 已知為 4，故 d² = 3² + 4²，或

或 d = 5。用在平面上，我們有

因此，

這樣的表述用蘊含變元的代數等式 (或不等式) 呈現，而變元的替換集 (replacement set) 為 ℜ﹔ℜ 即笛卡兒幾何的基礎﹕實數連續統 (real number continuum)。笛卡兒幾何之被稱為「解析幾何」(analytic geometry) 乃因為，籠統地說，分析 (analysis) 是數學中處理具連續域 (continuous domain) 的變元的部份。有了這套代數語言，關於幾何命題的證明便只不過是代數等式或不等式的操縱，或者用數學史家埃德娜‧克雷默的說法﹕證明便只不過是 al-jabr w’almuqabalah (等式中項的換位和簡縮) 那麼一回事。²⁶ [Kramer 1981: 143]

明顯地， 以笛卡兒的坐標系統為參考框架的任一曲線上的任何一點都可以用坐標系統中的縱橫兩軸決定，即 x-y 平面上的任何一點都可以用兩個變元來界定，而兩個變元指稱的變量有一個因應的關係。

起碼，在上述求取弦的代數等式中，各變元之間形成某種關係是可以觀察得到的現象。

__________

²⁵ 漢語學界有時亦稱之為「商高定理」。商高為西周人 (公元前十一世紀)，據《周髀算經》的記載，商高在與周公的談話中舉例說明了「商高定理」的用法。《周髀算經》卷上一開始便有這樣的敘述﹕「昔者周公問於商高曰，竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧接立周天曆度，夫天不可階而升，地不得尺寸而度，請問數安從出，商高曰數之法出於圓方，圓出於方，才出於矩，矩出於九九八十一，故折矩，以為句廣三，股四，逕隅五，既方之外半其一矩，環而其盤得三四五，兩矩共長二十有五是謂積矩，故禹之所以治天下者，此數之所生也，…」。比商高晚了六百多年的畢達哥拉斯年青時學於埃及，很可能從阿拉伯人處得悉這條定理。歐洲人稱此定理為「畢達哥拉斯定理」。由於缺乏確鑿的文獻證明，後人不知道此定理的最早期發現者，據我們現時所知，這條定理在畢達哥拉斯時期已為當時的數學家普遍知悉。這條定理似乎在不同時期在不同定地域多次被發現。至於命名方面，我傾向於反對「商高定理」的標簽。原因很簡單，文本中的商高沒有「定理」的觀念，事實上，在西方數學登陸中國本土之前，中國本土的數學並無「定理」的觀念。所以，如若漢語學界要強調中土亦曾有過這方面的思考，「勾股弦定理」是一選項，或簡稱為「勾股定理」(有勾股必有弦之故)。

26 今日的代數源自波斯 (今日的伊朗) 數學家阿布‧穆罕默德‧花刺子密 (Abu Muhammad Al-Khwarizmi: 生卒於公元八-九世紀，正值歐洲的中世紀)，他寫了一部著作，名為「al-jabr w’almuqabalah」，即等式中項的換位和簡縮的意思。這份數學文獻的簡稱為「al-jabr」，歐人將此簡稱拼寫為「algebra」，漢語稱之為「代數」。

待續