舊業重溫6--有雙重根號的方程式

在YouTube上看到一位外國老師解一道有雙重根號的方程式，題目如下：

在四五十年以前的遙遠年代，中學的數學課有教解無理方程式--就是像這種未知數藏在根號內的方程式，現在則為了減輕學生負擔，已經廢棄了。不過，對於好學敏求的人，其實並不難學習，只要能化為多項方程式，接下來就是現行課綱所教的了。對於有根號的無理方程式，應如何化為多項方程式？基本技巧就在於「平方消根號」。且看以下解法：

解法一：

將等式兩邊同時平方

外層根號與平方抵消，變成

再兩邊平方一次，就可以消去剩下的根號嗎？很遺憾，依完全平方乘法公式(可參閱<舊業重溫5>)，左式變成

根號還在。欲徹底消除根號，須先將根號外的加減項，移到等號另一側：

再兩邊平方，記得根號外的2也要依指數律一起平方，

終於完成轉化為多項式的手續。接下來，

   4．(15x-41) = 49² - 2．49．(15x) + (15x)²   (右式依完全平方乘法公式展開)

乘出結果， 60x – 164 = 2401 – 1470x + 225x²

移項，合併，可整理為   225x² – 1530x + 2565 = 0

係數很大，別嚇著了，它們有最大公因數45，先除去，化簡為

   5x² – 34X + 57 = 0

依國中所教的十字交乘法，將左式分解，得

   (x -3)(5x -19)=0

  ∴ x=3 或 x= 19/5

到這裡還不能寫下答案，因為前面將等式兩邊平方時，可能發生「增根」現象，多出一些不合理的根，我們須進行驗算，代入初始的方程式，將不滿足的解捨棄。

當x=3時，

當x= 19/5時，

所以本題只有一解 x=3

不過這位Ytr並不如此推求，他耍了一個好用的技巧，可使演算過程簡單一點，減少一些項，或者使係數變小，不像上述過程跑出4位數來。這個技巧也值得學起來，大家看仔細了。

解法二：

用新變數代換內層的根式，令

仿效解法一，等號兩邊平方，消根號化為變數t的多項方程式，

   t² + 41+ 2t = 7²

   t²+ 2t + 41 – 49 = 0

   t²+ 2t – 8 = 0，

十字交乘分解，(t-2)(t+4)=0，

   得 t=2 或 -4， 即

15x – 41 = 4
  15x = 4+41 = 45
  x = 45/15 = 3，驗算滿足方程式。

或

15x – 41 = (-4)² = 16
  15x = 16+41 = 57
  x = 57/15 = 19/5，驗算不合(如前述)。