方格精選
中學以下的素養教育與經驗談：國二下數學篇──數列
閱讀時間約 7 分鐘
每篇都要再次說明，所有的教學方法與手段，完全要看：
- 個人因素
- 社經背景
- 對應教材與年齡
沒有百分百適用，也不會有一招行天下的密技，最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材，只要學生本身完全沒有學習的意願，都是沒有用的，這時候就得要換其他方式，不能只看教材與方式。
國二下數學，前半是函數，後半是圖形，大約在一二次段考之間，學生的表現會有不小的落差。
但就筆者個人經驗，數學在二下像自然一樣爆掉的狀況反倒少見，應該是二上已經被洗禮過，該炸的都炸了，剩下的是持續，以及慢慢習慣步調追上的差別。
前半的第一部分是數列，目前只剩下等差數列，等比只有講一點概念，複雜運算都沒有了。第二部分為函數，與其說開始教函數運算，不如說定義跟基本功比較多，所以這部分對學生來說，偏向努力就可以獲得成果的部分，其餘的是練習。
筆者看過的學生在這邊出事的，大多是題型看太少，導致卡住抓不到解題辦法。
後半部分的圖形，則會一開始卡在三角性質，這邊若對定義不熟悉，證明的部分就會完蛋，切勿操之過急，畢竟對圖像的感覺不是每個人都很快上手。第二部分是平行跟四邊形，與三角形的狀況都類似。
怎麼說比較好，二下數學依照個人的經驗，屬於可以磨的部分，因為我們過去的難題都拿掉了，現在的題目除非學校特別要拉高難度，不然整體可操作的考試題型就變少，應付的角度而言容易多了。但反過來也有另一個問題，就是炒短線導致根基不穩，國三到高中後遇到更複雜的函數跟圖形，完全無法面對。
所以，請回到老方法，緩但穩的一步步來，寧可一學期平均慢慢進步個10分，也不要想一次段考就拉上去。
數列
數列的基本，是指有規律的數字排列，例如「1、2、3、4、5」，此時我們稱有排列的第一個數字叫做「第一項」，每一項之間的間隔若一致，有固定的差，稱這個為「公差」（common difference；寫成公式記作d），具備這些條件的數列稱之為等差數列。
經驗上沒有學生不懂，問題是不會去記定義，就覺得「不過就是數字排列得很漂亮」的人不少。所以，筆者建議一律用學習單去強迫閱讀，把數列定義記清楚，尤其是數列跟等差數列不一樣，看過太多人因為本章重點是等差數列的運算，就把沒有等差的數列都當一樣看了。
有關於數列的定義，規律性變化這些筆者就不重提，課本上面都有，目前的課本內容應該不會到看不懂，出問題的大多是解題解不出來。所以後面把重點放在數列怎麼解，定義部分就請自行參閱。
看懂問題，理解「規律」並不只一種
等差數列的第一個重點是「規律性變化」，這是學生常常弄錯的一點，不是弄錯變化，是以為規律只有一種。最常犯的錯誤，就是只記得「2、4、6、8、10」這種公差一致的，結果就是下列題目搞不懂，怎樣都想不通。
範例：五個正方形用面積由小而大排列，已知最大的面積100，最小的為4，且邊長變化為等差數列，請問第三個正方形面積多少？
解答：由於面積為邊長的平方，而邊長為等差排列，所以(a1)^2=4，以及(a5)^2=100，故a1=2、a5=10。
面積為6^2=36。
真的別懷疑，很多學生遇到這種需要轉一個彎的就倒了，原因一般是這樣：眼睛看著100跟4，拼命想找出中間其他三個正方形的面積規律。
我們也可以說，這是一種很容易看錯重點，或是被轉移目光的特性，但現實來說這種人還不少，但再怎樣只要題目看熟，知道重點在「邊長」而不是面積，好像都還好。下面這種常見題型就是容易炸掉的部分。
範例：已知有金字塔圖形如下，總共疊了十層，請問黑球跟白球各有幾顆？
解答：從頂端往下，已知每隔2層才會增加1顆，所以每層的
- 黑球數列：1、1、2、2、3、3、4、4、5、5
- 白球數列：0、1、1、2、2、3、3、4、4、5
黑球實際上是兩個1、2、3、4、5的數列，或加起來為2、4、6、8、10的數列；白球差了一樓少5顆，所以只算黑的就好。
總和代公式為：
黑球30顆，白球25顆。
學生很容易在這邊，眼睛盯著黑的忘不了白的，或是堅持覺得數列只有一種排法，每一層都會有一個公差。遇到這種兩個相疊成的數列，或是不同圖案、顏色的混合，立刻就倒掉。但很有趣的是，只要解釋怎麼切入，大多人都懂了，這表示問題不是出在無法理解規律性變化，而是對「規律」這兩個字的想像力不足。
等差數列的「中項」，很多學生只抓到「中間的感覺」
這章節，單純代公式的題目，幾乎都不會出錯，連公式都沒記，考不好算自己的問題。上述提到的，是對規律性的理解太死板，第二種常見的失誤在對「中項」的不理解，等差中項跟等比中項皆然，這算是對數列的理解不足，或是對數字的敏感度不夠。
例如，「1、2、3、4、5」是一個等差數列，中項是中間的3，所以等差中項可以用任意兩個公差一樣距離的項去平均。意思是：
看來沒問題對吧？問題可大了，根據經驗上，學生碰到的問題，都是抓那個數列中央的「感覺」，沒去理解中項可以這樣去代公式，是因為公差相等。我們把每一項的定義代回去就知道 an=a1+(n-1)╳d
嗯？這樣看不出的，學生可以理解那個2d，但很難抓到所謂「中間項就是兩邊加起來除以2」的感覺。很多老師會直接用「公差沒有一定要加或減」，讓上面的a1、a2、a3、a4、a5 變成 a-2d、a-d、a、a+d、a+2d
然後就死掉了。
對，學生倒掉的一片，因為他轉不過來，差不多在中段的學生，是無法很快理解為何可以把5項變成只有公差的差異，更不懂a是什麼意思。如果有師長對這轉折很難體會，請站在中間數學很普的學生立場去想，他前面都在記公式有首項a1，現在變成中間項是a，請給一點時間，或是多一兩個步驟去帶。
先建立順序概念，打好底才能讓腦袋轉過來
筆者在教這邊的時候，一開始是不會講a1、a2、a3項次這些，而是只用中文「第一項、第二項、第三項」，先建立順序的概念，然後再給予「每一項之間有固定的差，稱之為公差，數列為等差數列」。接著，就是慢慢但不停的灌輸，所謂的a1、a2、a3就跟未知數x、y、z很像，都是一種代數指稱。
亦即，先不馬上灌固定的範式，而是先讓學生抓到等差的感覺，不囿於固定的式子，後面會比較好處理。至於前中段的學生，如果學習單給的夠勤，解題時記得還是要把標準式寫上，轉換困難不大。以上這段主要式大概PR50上下的，數學腦袋轉不夠快的這類人。
此時，你再把a-2d、a-d、a、a+d、a+2d帶入
同學的神經接上去的反應會比較強烈些，而且這有一個很大的好處，就是轉變型態變成只有偶數項，或是只看某個特定項也容易懂。
例如
a2=(a1+a3)/2
a4=(a3+a5)/2
因為都差一個公差，所以等差中項並不是只規定頭尾兩項，這個觀念會比較快建立，真的是有老師因為課程進度略慢，這邊忘了提導致學生不敢用。
偶數項假設只有4項a1、a2、a3、a4
就可以改成a-3d、a-d、a+d、a+3d
此時公差從d調成2d，學生接受度也會比較高些。
學生狂刷題、講課趕進度，反而沒有效率
這節的目的，主要讓師長跟同學了解，常見問題的根本不是在運算太少，是沒抓到那個精神。透過刷題目是可以鍛鍊，練到某一天突然開竅，抓到題型變化的根本，但這年紀的學生會出這些問題的，腦袋本就不是前段，不會有這麼多時間一直刷題。
所以請上課用學習單加強基礎變化練習，刷題目時一定要解題，寧可五題解一節課，也不要為了趕進度都不講解，效率很差的。
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