中學以下的素養教育與經驗談:國三下數學,四分位數與盒狀圖

更新於 發佈於 閱讀時間約 7 分鐘

最後的統計機率,以及立體圖形,這大概是國中感到最輕鬆的章節。話是這麼說,因為學生到此通常都煮熟了,要死要活都定案,才感到沒差。


筆者在這裡,只會針對一些常見的錯誤釐清,其他就不多說,國三這邊真的只是蜻蜓點水。圖形那邊則稍微提一下,立體概念照理說都有,還沒有的硬補也不行,不如回去先看小學高年級課程。

這裡其實是一堆概念,透過練習就可以搞定,不必要花太多功夫,主因在於國三只是講圖線跟表格,沒有討論怎樣判讀,都快會考了也沒必要講太深。

看數據資料,必須要懂統計名詞與機率

大致上就是算術平均數、中位數、眾術,以及了解次數、累積次數圖,還有盒狀圖。以前筆者都覺得這邊隨便也沒差,看了廣大民眾畢業多年後,越來越覺得認真教比較對得起國家。

多數沒上高中的學生,這輩子最後一次碰到各種統計名詞與機率,就只有這邊,難怪社會上充斥一大群看不懂資料的人,唉。

抱怨就不在教育專欄多說,學生要先學會的是資料處理,也就是假設有很多數字,將之排列整理,列在圖表上。以下為了方便,這邊提供幾個基本數列

連續數列:1、2、3、4、5、6、7、8、9

骰子:1、1、2、2、2、3、3、4、5、5、6、6

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考卷分數:10、20、30、30、40、40、40、50、50、50、60、60、70、70、80、90、90、100

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這是所謂的直方圖,用來看出分布狀態。如果改成折線圖次數就會變成如下:

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理解圖表的功能和用處

這都還好,遇到累積次數圖就開始有問題,因為累積次數指的是「從一開始累積到現在的次數」,沒有特定去想,直觀上很難理解,如下圖。

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橘線是累積次數,很多同學不明白為何會這樣,這其實就只是一種定義,要說趨勢變化也可以。筆者的建議是配合案例,例如先問班上同學考10分的舉手,接著20分的也舉,但10分的不放下,然後再舉30分,依此類推到全班都舉手。

筆者的建議是,找幾個現實案例,讓學生明白圖表的用處,在於讓人一目了然,不是有做就好。而從中學到,不同圖形用在不一樣的地方,好比民調用折線圖好還是圓餅圖好?

如果使政黨席次對比,圓餅圖有助於一眼看出勢力大小,這用折線圖就很難看出絕對比例。但如果是要知道歷年支持度變化,那還是得看折線圖,才曉得趨勢怎麼跑。

數據跟圖表的意義,重點在如何製作與解釋

可以的話,找一兩個案例,讓學生去了解,不同數字給予人的感覺,例如下列四圖。

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如圖,某項汙染物在自然界的含量,做成這張圖,會給人一種連年上升的印象對吧?但看看縱軸,好像感覺怪怪的對不對?我們如果把縱軸座標拉到0去看的話會變下圖。

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呃,瞬間感覺好像沒啥變化,這就是操作數據但沒有說謊的做法之一。我們還可以把含量改成年增率,如下圖:

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這圖的解釋,一般來說都會認為,應該是沒啥大變化,但有一種「增加率的增加率」,會讓此圖為之一變。

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刪掉中間往下的變化,然後把變化率取跟前一年的「增加率」比,口語化成「2000年後污染排放量逐年上升,04年的增加率還在增加40%,到了05年將近200%,這幾年趨勢略有下降,但每一年相比仍保持增加110%的幅度。」

看起來就有夠嚇人,但看過原始資料就會發現,好像不是這麼回事。目的在於要讓學生,可以很快抓到那個概念,數據跟圖表可以做,重點在怎麼製作跟解釋,不能讓第一印象影響自己。

能做到這樣,筆者認為已經功德無量。

不過就以練習來說,這邊的次數、累積次數、相對次數(百分),都要自己動手做一兩次才會懂,光是用看的沒辦法。

算數平均數、中位數、眾位數與四分位數

接著上統計數字的概念。

  • 算術平均數:所有資料加總後,除以資料筆數。

這是一般人最清楚的,筆者建議加上一些額外補充,遇過學生只會操作但不懂內涵。補充的內容,就是加上極值,例如全班平均分數60分,但拿兩組資料,一組是多數分數落在60前後,另一組是90分跟30分很多的資料,讓學生先了解,原來平均數代表的意義不是「大家都這樣」。

不要以為筆者在開玩笑,真的很多人以為算術平均數,意義就是大家都這麼多。

  • 中位數:把數字整理排列後,中間的那個數字。

這有點小麻煩,單數雙數的問題,假設有5個數字,排列後中位數就是第三個。但如果只有4個,那麼中位數指的是2、3加起來除以2。

中位數只能表達中間那個數字,不能代表數字是否有偏,例如全班數學考試中位數60分,平均50分,能不能得到分布很靠中間的結論?不行。

  • 眾數:數列中出現最多次的數字。

好比說,全班體育課算十次罰球的進球量,結果眾數是3。這只能表達最多人只投進3次,可不可以表達分布在3次附近?不一定。投籃次數照理說,進球越多的人數越少,故全班大多3次,那麼的確可能其他人在2、4次附近。但能不能保證都是這樣?若是丟骰子就肯定不行,骰子六面機率相等,眾數為3,只代表這幾次丟下來,3比較多,不能說2跟4也很多。

簡單說,國三學到這些統計數字,都只能解釋一些簡單意思,不能直接等同懂統計。沒有配合統計題目,對象是否適合,就不能驟然下評論。故四分位距(第1四分位數和第3四分位數的差距)蠻適合看分散程度,理由就在這,而這也是國中比較能找實際案例去解釋的。

所謂的四分位數指的是把數字排列後,依照25%、50%、75%,劃分四塊,其中25%稱為第1四分位數,75%稱為第3四分位數,50%就是中位數,不會特別說。


以前面的考試分數當例子,總共有18個數字:

  • 考卷分數:10、20、30、30、40、40、40、50、50、50、60、60、70、70、80、90、90、100

所以第1四分位數是第幾個數字?18×1/4=4.5,取第5人為40分。

第3四分位數是18×3/4=13.5,取第14人為70分。

四分位距為第3四分位數減掉第1四分位數,70-40=30分。


若有另一班的考試分數,幾乎都集中在60前後,如下:

  • 考卷分數:10、30、40、50、50、50、50、50、60、60、60、60、60、60、70、80、90、100

所以第1四分位數是第幾個數字?18×1/4=4.5,取第5人為50分。

第3四分位數是18×3/4=13.5,取第14人為60分。

四分位距為第3四分位數減掉第1四分位數,60-50=10分。

故可稱這一班的分散程度比上一班要小。


大概就這樣,統計真的不難,只是通常到這時間,會考前很煩了。筆者會建議,如果師長覺得時間夠,寒假可以先上,因為這邊不難,只是要花時間,且會考會出一題。

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