中學以下的素養教育與經驗談:國三下數學,二次函數(上)

閱讀時間約 3 分鐘
國三下數學,快解脫了同學們。
下學期數學重點,嚴格說只有二次函數,後面是統計與機率、立體圖形,筆者應該會分兩部分,二次函數跟其他。因為二次函數的問題較多,統計與機率大致上還好,立體圖形也是,因為都接近會考,故以會考的角度來說,題目不會出太難,頂多一題,從投報率來說也不建議花太多功夫。
二次函數嚴格說已經上過,就是一元二次方程式,照例請各位參考「GeoGeBra繪圖計算機」這個網站,只要輸入方程式就可以描繪出圖形,對於要理解圖形的同學來說,作為入門極為方便。
筆者個人也是建議,有些學校已經有電子白板,上課時接投影幕,直接電腦繪圖,不見得比畫黑板差。但請老師注意,要先從最基本的五點繪圖開始,確定基本繪圖沒問題,之後再用網站畫圖。

從基本圖形開始,千萬不要直接背定義

基本繪圖如下:
範例:請繪出y=x^2的圖形
第一次,一定要同學依序畫五個點,嘗試做出曲線的圖形,嚴禁當直線亂畫。
認識二次函數圖形是最基本,這常常出錯,筆者個人在寒假如果有空,通常會花一天,讓學生把每一個點都畫出,尤其是關鍵的a、b、c代表什麼。這邊的a、b、c指的是,二次函數的標準式:
這三個係數,以及其意義,還有怎樣透過標準式,去判別圖形的性質。二次函數圖形的性質,只有位置跟交點,位置指的是「頂點」處在四個象限中的哪裡?交點指這個圖形,於x軸與y軸有幾個交點,又會教會在哪。其實方法很簡單,但容易忽略,這個方法就是:
從基本開始繪圖,千萬不要、絕對不行「直接背定義」。

讓學生在繪圖的過程,感受「變化的感覺」

首先從第一個開始,為何a>0代表開口朝上,a<0則是朝下?畫圖就知道為何,筆者建議這邊,在黑板上畫出三種六個不同的二次函數圖,把a的正負與大小,分別代表開口什麼,一次列出便於觀察:
  • y=x^2 與 y=-x^2
  • y=2x^2 與 y=-2x^2
  • y=3x^2 與 y=-3x^2
對,係數為1、2、3,千萬不要用 y=x^2、y=2x^2 與 y=1/2x^2
筆者知道很多老師想這樣,但個人經驗是不要在這邊,讓係數變成分數,干擾學生對圖形變化的學習。
上圖是y=x^2、y=2x^2 與 y=3x^2
這是y=-x^2、y=-2x^2 與 y=-3x^2
可以畫在一起,重點是要連續畫給學生看,同學也請自己畫一次,要透過動手的過程,去感受「變化的感覺」。
然後,才可以寫下
「a>0代表開口朝上、a<0開口會朝下,a的數字越大,開口會越小,數字越小則開口越大」
重點是,讓學生了解,係數a是一種加強原本圖形變化度的參數,數字越大干擾變數越強,所以才會讓圖形越陡峭,若可以舉一些實際案例更好。

由圖形的感知能力磨起,切勿直接攻頂

只能說,很煩但一定要自己做,這是個人慘痛經驗,欠缺圖形的感知能力,學生後面學的很辛苦,個別同學可能感覺不出,全班的成績,與二次函數上課時的順暢度,整體差很多。
接下來,筆者會教c而不是b,也不是平移,有些老師會覺得先教方程式的整理,直接教頂點,個人經驗是這樣效果不好,最好是先把a跟c的意思講清楚。
係數c的講法倒簡單,建議拿基本圖形改變就好,如 y=x^2+1 與 y=x^2-1
y=x^2+1
y=x^2-1
在此建立一種動態的上下移動感覺,如果學生感受不出,多畫幾個。個人不建議加上x項,經驗上如果圖形有點歪,反倒干擾中間程度的學生吸收。
在此先提醒各位師長,這是比較要注意的項目,正常要教的繪圖流程,頂點跟拋物線關係,對稱軸在哪裡,都應該每張圖花點時間解釋。
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