📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
📘 第 15周: 🧠 🚀 星鏈 通訊工程實作
142／150單元：A LEO MIMO H-Matrix（相位補償）🧩
建立高速時變多天線通道
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🎯 單元導讀
在地面 5G NR，我們熟悉的 MIMO：
• Rank 4 / 8
• channel slow-fade
• phase 耐久度高（穩定）
但在 LEO / NTN：
🚀 衛星移動速度 7.5 km/s
🚀 多普勒可達 ±40–100 kHz
🚀 衛星姿態改變 → 天線相位瞬間不一致
🚀 多徑 + LOS → Rician channel 高度時變
所以 LEO MIMO 的 H(t) 有三個特色：
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⭐ ① H 不是固定矩陣，是 高速時變 H(t)
⭐ ② 每天線的 Doppler 不同（因角度不同）
⭐ ③ 需要相位補償（phase compensation）才能正確解調 OFDM
這節會教你：
① 如何建立 MIMO 通道矩陣 H(t)
② 如何加入 Rayleigh / Rician
③ 如何加入 LEO 多普勒
④ 如何做相位補償（Phase Tracking）
⑤ 完整 Python 實作
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🧠 一、MIMO 通道基本公式（複數矩陣）
設：
• Nₜ = transmit antennas（天線數）
• Nᵣ = receive antennas
通道矩陣：
[ h11(t) h12(t) ... h1Nt(t) ]
H(t)= [ h21(t) h22(t) ... h2Nt(t) ]
[ ... ... ]
[ hNr1(t) hNr2(t) ... hNrNt(t) ]
每個 hᵢⱼ(t) 都是：
✔ 複數
✔ 隨時間變動
✔ 衰落（Rayleigh / Rician）
✔ Doppler phase rotation
✔ 空間相關（correlation）
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🧠 二、LEO 特色：每天線有不同 Doppler
因為天線陣列跨距（baseline）可能 5–20 cm，
而衛星高速相對運動會造成：
不同天線 → 入射角不同 → Doppler 不同
f_D(i) = (v/c) * fc * cos(θ + Δθᵢ)
這叫 differential Doppler，會導致：
• 相位不一致
• MIMO beamforming 錯向
• precoding 失效
所以 H(t) 必須包含：
⭐ 每天線自己的 Doppler
⭐ 角度相關矩陣（spatial correlation）
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🧠 三、LEO 相位補償（Phase Rotation Compensation）
最重要的一行式子來了：
Δφ(t) = 2π f_D t
補償後：
h_corrected(t) = h(t) * e^(−jΔφ(t))
目的：
✔ 把高速多普勒的相位旋轉移除
✔ 讓 MIMO detection（ZF/MMSE）不失真
✔ 讓 OFDM 不被 ICI 淹沒
✔ 對接 beamforming / precoding
LEO 沒有這個 → 直接爆炸。
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🧠 四、工程實務
在 LEO 系統中，
工程師不會把重點放在「用程式產生 H(t)」。
真正的核心只有一件事：
在超高速、強多普勒、毫秒級變動的通道下，
如何即時估計、維持並交付「可用的 H(t)」。
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1. 實務上，H(t) 的來源是什麼？
👉 H(t) 從來不是憑空生成，而是「訊號設計 × 量測 × 估計」的結果
① Downlink Reference Signals（導頻 / 參考訊號）
• 透過 已知序列（Pilot / RS）
• 在 UE 端估計：
o 每根 TX 天線 → 每根 RX 天線
o 對應的 複數通道響應
② Tracking Pilots（追蹤導頻）
• 高頻率插入
• 用於毫秒級追蹤：
o CFO
o 相位旋轉
o 時變衰落
③（若系統允許）Uplink Sounding / Feedback
• 由 uplink 量測到的通道特徵
• 輔助 downlink：
o 預測
o Precoding
• 是否使用，取決於 FDD / TDD 與回饋設計
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2. LEO 的第一優先事項
先鎖住「共同相位」（CFO / CPE）
在 Starlink / NTN 中，工程師會先拆掉最致命的通道成分：
• 共同載波頻偏（CFO） / 主多普勒項
• 共同相位誤差（CPE, Common Phase Error）
為什麼一定要先做？
• CFO 會讓整個 MIMO 矩陣一起旋轉
• 若不先鎖住：
o ZF / MMSE
o Precoding
o Beamforming
👉 全部會發散
工程實務流程
(1). 粗 CFO 捕捉（Acquisition）
(2). 細 CFO 追蹤（Tracking Loop）
o PLL
o Kalman Filter
(3). 移除共同相位旋轉（CPE Compensation）
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3. 再處理 Differential Doppler
（每根天線不一樣的多普勒）
Differential Doppler
正是 LEO MIMO 會真正「爆掉」的核心原因之一。
LEO類型系統通常採用 雙路並行策略：
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✅ 路徑 A：幾何輔助（Geometry-aided）
• 使用：
o 衛星軌道（Ephemeris）
o 姿態
o 波束指向
o UE 位置估計
• 推算：
o 各天線入射角差
o → 各 RF chain 的 預測 Doppler 差
📌 角色定位：
👉 提供「先驗預測」，避免追蹤器迷航
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✅ 路徑 B：導頻驅動（Pilot-driven）
• 從導頻觀測：
o 每個天線分支的相位漂移速率
• 估計：
o Residual Doppler
o Phase slope
📌 角色定位：
👉 以量測為準，修正幾何誤差
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🔁 最終融合方式（常見）
• PLL + 幾何先驗
• Kalman Filter
o 狀態：
CFO
相位
相位斜率
• Per-antenna residual phase tracker
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4. 形成「可用的 H(t)」
通道估計 × 空間相關 × 平滑預測
在 LEO MIMO 中，工程師不會直接用瞬時 H(t)。
必須經過三個工程化步驟：
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① 通道估計（Channel Estimation）
• LS / LMMSE
• 由導頻得到：
Ĥ(t)
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② 空間相關建模（Correlation / Covariance）
• 建立：
o R_tx
o R_rx
o 或 R_H
• 用途：
o 穩定 LMMSE
o 強化 Beamforming
o 對抗低 SNR / 導頻稀疏
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③ 時間平滑與預測（Filtering / Prediction）
• LEO 的 coherence time 極短
• 必須預測：
o H(t + Δt)
• 📌 AI 插入點：
o 短期預測相位與幅度趨勢
o 輔助追蹤與 precoding
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5. 真正交付給系統的產物是什麼？
👉 不是「漂亮的 H(t)」，而是能讓系統穩定運作的工程量
實務交付項目包括：
• 補償後的 Ĥ_corr(t)
→ ZF / MMSE 使用
• Precoding Matrix / Beam Weights
→ 波束成形
• Residual CFO / Phase Error 指標
→ 失鎖監控
• Channel Quality 指標
o CQI
o 有效 SNR
o BLER 預測
→ MCS / 排程決策
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6.工程驗證（Starlink 風格 KPI）
最終一定回到 電信 KPI，否則全是空談：
• 高速多普勒下：
o BLER / PER 是否達標
• OFDM 正交性：
o ICI 是否被有效壓制
• Beamforming：
o Gain 是否穩定
o 是否避免錯向
• Handover / Beam Switching：
o 是否能快速重收斂
• 魯棒性：
o PVT 誤差
o 溫漂
o RF chain mismatch
在 LEO MIMO 中，工程師不是在「生成 H(t)」，
而是在毫秒級用導頻估計 H(t)，
以幾何與追蹤器補償 CFO 與差分多普勒，
再把修正後的 Ĥ(t) 交給 beamforming / precoding，
形成真正可運作的工程閉環。
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🧠 五、ASCII：MIMO 通道與相位補償
Before Compensation
H(t): e^{j2πfD1 t} e^{j2πfD2 t}
e^{j2πfD3 t} e^{j2πfD4 t}
每根天線都被不同的多普勒與相位旋轉拖著跑，整個 H(t) 在時間中不停旋轉發散，導致 MIMO 失鎖、OFDM 正交性崩潰、波束方向錯亂，效能甚至比 SISO 還差。
After Compensation
H'(t): ~constant~ ~constant~
~constant~ ~constant~
先把共同與差分多普勒全部對齊並移除，相位趨於穩定，H′(t) 近似常數矩陣，MIMO rank 與空間結構恢復，通道估計穩定，系統才有條件引入 AI receiver 發揮增益。
衛星模式下，如果不補償：
📉 MIMO 無法稳定
📉 OFDM ICI 爆炸
📉 Beamforming 歪掉
📉 反而比 SISO 更糟
補償後：
📈 MIMO rank 恢復
📈 channel estimation 變穩
📈 可以做 AI receiver
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🧠 六、工程應用（極重要）
✔ NTN 多天線 UE（船用天線、航太終端）
→ 每根天線角度不同 → Doppler 不同 → 必須做相位補償
✔ 衛星 Massive-MIMO（未來版本）
→ Precoding 必須基於相位對齊的 H
✔ AI Receiver（MLD/DNN/EQ）
→ 訓練資料需要正確的 H(t)
✔ Link Simulation
→ LEO MIMO 必須用高速時變 H
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🧪 七、模擬題
1️⃣ 專業題
為何 LEO MIMO 中每根天線的 Doppler 會不同？
📜 答案：
因為天線間距造成入射角差異，使 Doppler = (v/c)fc cos(θ) 出現不同 θ，導致 differential Doppler。
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2️⃣ 應用題
若不做相位補償，哪種技術會最受影響？
A. QPSK
B. OFDM
C. TDMA
D. CRC
📡 答案：B
OFDM 最怕相位旋轉 → 產生 ICI。
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3️⃣ 情境題
H(t) 中相位旋轉速度加快，最可能原因？
A. SNR 增加
B. 衛星速度下降
C. Doppler 增加
D. UE 功率太高
📦 答案：C
相位旋轉速度與多普勒頻移成正比，H(t) 轉得更快代表 Doppler 增加
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🧪 八、實務演練題
1️⃣ 建立不同天線間距 d 的 MIMO H(t) 並觀察 Doppler 差異
2️⃣ 測試有／無相位補償時 OFDM 子載波的 ICI
3️⃣ 在 Rician + Doppler 下比較 ZF/MMSE 性能
4️⃣ 建立 8×8 MIMO 並模擬 precoding（SVD）
5️⃣ 用 H(t) 產生訓練資料給 AI Receiver
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✅ 九、小結
LEO MIMO ≠ 地面 MIMO。
你必須處理：
🌌 高速 Doppler
🌌 每天線角度差異
🌌 高度時變 Rician
🌌 相位快速飄移
🌌 衛星姿態偏移
建立正確的 H(t) 並做 Phase Compensation 是 LEO 系統的靈魂工程。
