Markowitz和效率前緣

隨著分散投資、資產配置的理念逐漸擴散，人們開始思考不同資產間的搭配方式，而這就是「現代投資組合理論」登場的時刻了。

投資一定有風險，也一定有預期回報，所以我們需要先說好，什麼是「預期報酬」，什麼又是「風險」。很輕鬆的，我們知道用「加權平均」(期望值)來計算組合收益。而要描述組合波動，我們使用「變異數」(方差)。

1. 假設台積電一年上漲100%(純粹舉例)，蘋果一年上漲50%，那麼我各投資一半資金，就會得到75%的收益。如果我有80%投資在台積電，20%在蘋果，則組合收益就是1×0.8+0.5×0.2=0.9，90%收益。以上算式，就是加權平均的形狀。

E: 期望值(expect)
W: 權重(weight)
R: 收益(return)

2. 接下來，我們要處理所謂的組合波動。

我曾躺在遊輪上的游泳池中，感受到很特殊的晃動。海浪讓船身搖擺，而船身又讓游泳池的水產生波動，所以當我閉上眼睛時，我能感受到兩者造成的協力晃動。對於單一資產而言，波動很好算，單純就是收益的變異數(方差)。可是當我們處理多類資產時，究竟要使用誰的方差呢? 答案是，使用共同的變異數，也就是「共變異數」(協方差，covariance).

如果使用向量和矩陣來描述，形狀也一樣，但各細項我就不列出來了。(協方差矩陣非常重要，是計算投資組合時好用的工具。)

T: 轉置矩陣(transpose)

3. 高中數學，在說共變異數的時候，會順便介紹「相關係數」，但它對於投資組合有什麼意義呢?

ρ: 相關係數

大家可以思考「主動降噪耳機」，它的原理是製造相反的聲波，刻意將噪音抵銷。雖然無法做到完全靜音，但是效果也很顯著。降風險，和降躁的精神一樣。觀察股債組合，我們可以看到，股票和債券的走勢不同，而且有時候甚至相反。用數學語言來描述，就是「相關係數」低。

我簡單畫了一個極端的狀況，紅線和藍線雖然都有波動，但疊加在一起之後，組合出了一條無波動的直線(黑)。也就是說，理論上我們如果找到相關係數很低(包括負值)的資產，就可以配出「無風險」組合。當然，實際上不可能有這種完美組合，我們能做的只有盡量降低風險。(事實上我只是畫弦波函數而已，和真實資產價格的走勢差異很大，也請先不要跟我說傅立葉。)

換句話說，基本上找相關係數低的不同資產配置在一起，會讓整體組合的波動降低。

4. 回過頭來看協方差的性質，我們要來研究一下整個組合的變異數(方差)。而為了方便證明，我先用兩種資產舉例。

我們可以看到，Var(X), Var(Y)和Cov(X,Y)都是資產歷史表現決定的，而我們需要調整a, b的值，並期望讓整體波動Var(aX+bY)最小。當我用未來的預期組合扣掉原本的組合時，只剩下Cov(X,Y)有變化，其它都會抵銷掉。

換句話說，我們只要想辦法把Cov最小化即可。(嚴格來說應該是0.5Cov)

5. 接下來，我會寫出求解的方式，不想看的朋友可以往下跳一段。

引用上述的式子，並改寫成另一種表達形式。

原始版本的限制條件，包括「不可做空」，也就是權重W最小只能是0，不過此處先不考慮。另外，還有一個條件就是資金要全部打完，也就是每個權重W加起來要是1。
要處理這種帶有限制條件的極值，我們可以用Lagrange乘法，我一樣先用兩種資產來列式。

接著，我們用矩陣來處理它，最終可以在求出反矩陣的前提下，得到W的解。

既然是資產「組合」，最少有兩個權重，因此我們會面對解四階反矩陣的繁瑣。
不過觀察矩陣的形狀，我們可以發現，無論有多少個權重，每個W的解都和1, R有關。因此，這時如果把收益R和W加權起來，就會組成R的二次方程式。

換句話說，當我們聚焦在求得「最小組合方差」時，會得出期望值(R)的拋物線函數。
不過，如果畫在平均-標準差的座標系上，它會變成一條「雙曲線」。

6. 所以這條雙曲線，長什麼樣子?

我用Excel畫出五年的某組合效率前緣，大家有個印象就好。如果投資者都是理性的，那大家只會選擇曲線的上緣，畢竟承受同樣風險，沒道理選擇預期收益低的。這簡單的一招，就是Markowitz在1952年提出的「效率前緣」，而他也在1990得到諾貝爾經濟學獎。

投資的時候，我知道每個資產的報酬和波動，也知道資產間的協方差，因此現在配置比例隨便抓，都可以算出整個組合的對應總收益和總波動。我們也可以依據自己的偏好，限制效率前緣的呈現範圍。另外，如果在圖表上結合無風險報酬，就能畫出資產配置線(CAL)、資本市場線(CML)、證券市場線(SML)...等，十分方便。

7. 有了效率前緣，人類的投資知識往前邁進一步，但它並不完美。

首先，每次我想要計算投資組合，就需要把整個流程跑一次。期望值、標準差、共變異數、Lagrange、反矩陣...這些運算非常繁瑣，人類光是三階反矩陣都要算很久了，更何況是多資產的組合呢? 另外一點，有時候投資會有做空限制，需要使用Monte Carlo等模擬法，我也聽過其它精彩的優化演算法(如基因類的NSGA/SPEA...)。但是無論何種方法，人類都必須借助機器，才能得出解答，離實用還是有些距離。

另外，通常我們只是想知道資產的大概比例，並不需要計較詳細數字。可是用均值方差(MV)算出來的結果，往往會對於我們的預期報酬很「敏感」。例如，可能我只是上調0.1%的預期報酬，結果資產間的權重(W)就跟著大幅變動，這對投資人來說不切實際。而為了解決這個問題，人類也發明出不同模型，像是Black Litterman，我會在之後的章節講到。

還有一點，既然我們要處理風險，那就應該思考風險的意義。想想Sortino和Sharpe的差別，在資產組合也一樣，因此有人嘗試用「下行標準差」來改良模型。也有人使用JP摩根的VaR(風險價值)或CVar，來取代古早的標準差。

看到這裡的朋友，可以選擇跳到下一節。但如果讀者有興趣，也可以參考剩下的延伸結論。

我們在計算Cov一直接觸到的相關係數ρ，全名是「Pearson 積-動差相關係數」，意思就是利用到均值(一階動差/矩)和隨機變數(X,Y)的乘積。相似的，在計算收益期望值的時候，既然有一階矩，就有更高階的矩，各位可以觀察組合P和起始點(收益)為R的Taylor展開。(以下算式參考MIT公開課18.S096 Dr. Kempthorne)

Skew: 偏度
Kurtosis: 峰度

接下來再次利用Lagrange，求整個組合報酬期望值的最大化。

我們也可以得知，從不同階的矩切入，投資人應該喜歡高均值、低方差、高偏態、低峰態...的投資組合，正是因為偶數階矩代表著分散程度。

若你屬於長期讀者，可能還會聽過我說風險並不是完美的「常態分佈」。在Markowitz發表論文的幾十年後，學術界也出現許多修正MV的方式，但基本上都是從不同階動差下手，讓算法最優化的同時，能更貼近真實世界。

8. 恭喜看到這邊的各位，最後我說一些注意事項。

原理說完了，那我們可以利用什麼工具輔助計算呢? Portfolio Visualizer非常方便，而台灣的「投資組合大擂台」也可以計算出組合收益和波動率。我之前用Excel畫效率前緣，不過後來也嘗試使用Python和Matlab.

另外，效率前緣是一種回測的結果。大家畫出知名的雙曲線，只是把半世紀以前的理論重新實踐，不代表未來會如此發展。因此，保持質疑和挑戰的心態，才能避免掉入墨守成規的陷阱。

事實上，想挑戰Markowitz的人類很多。參數敏感如何處理? 風險分布模型怎麼改良? 風險可以解釋報酬嗎? 有沒有更簡潔的算法?

你可以鎖定資產配置系列文章，或許能發現答案。

下一篇: CAPM和手扶梯

註:

投資組合大擂台
Portfolio Visualizer
放一個我印象深刻的手勢，見3:30 (PG財經筆記作者)
風險是常態分布嗎?