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2020-10-26|閱讀時間 ‧ 約 5 分鐘
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數與人系列:真的沒辦法?請證明

數學和其他科學有一個很不同的地方在於數學家可以證明(prove)一些定理為真,而其他科學只能證實(confirm)一些法則。這句話的意思是,在數學家之間,一但某個定理被證明為真,其他數學家就不會再花工夫去推翻這個定理了。但是,在其他科學界,即使某些法則可以解釋很多狀況、很多現象,但是只要新狀況或新證據出現,原來用以解釋現象的理論就必須修正。畢竟,科學人建立理論是為了解釋各種現象的模式,而科學法則是科學家以簡馭繁的規則。
證明,其實應該是一個數學家才能獨享的專用字眼,但是很多時候,我們卻在日常生活用語中侵犯了數學家的這項特權。
比如說:政治人物某乙說:「若某甲貪污不是事實,我就吞下曲棍球。」
某甲擔任曲棍球理事長有沒有貪污這種事,只能調查後證實或推翻「貪污」這指控是否成立,在數學人眼中,除非定義完備,應該無法辯證事實的真假,所以也無法用「發誓」來做賭注。——
當然,這有一些文化觀點要解釋,「發誓」在西方文化是一種見證「永恆」或(絕對、唯一)「真理」的方式,但在道教當中,或許只是一種表示膽識的方法。
不過,到底一個人吞了曲棍球會怎麼樣?一個自己宣誓若指控為假就要吞下曲棍球的人,是不是一定要履行誓言吞下曲棍球?一個宣誓要吞下曲棍球的人,內心究竟有無神明?這些問題恐怕也不是數學家所能回答的。(相關文章:方的開悟性。)
人的事情不容易定義完備,所以還是讓我們回到數學 ----畢竟,在定義完備的數學世界中,一件事實是不是存在是可以證明的。
(而且,如果你能在數學上證明一件別人沒有證明過的事,因為見證了永恆,所以你就可以在數學史上留名,被稱為數學家了!)
在數學的世界裡,數學家除了可以證明一件事實存在外,還可以證明一件事實並不存在。
比如說,倍立方體問題。
這個問題,根據古羅馬時代的歷史學家普魯塔克(Plutarchus)的記載,發生在西元前四世紀的提洛島(所以,有時又被稱為「提洛島問題」。)
當時,提洛島的政治因為瘟疫問題相當嚴重,於是市民們前往太陽神的神殿尋求神諭。他們得到的答案是要製作一個正立方體,體積為原來祭壇的兩倍。
市民於是建了一個長、寬、高都是原來兩倍的舞台,獻祭給太陽神,只是建城之後,內政問體依然沒有解決。市民於是開始檢討到底是哪裡出錯了,過程中他們發現,新舞台因為長寬高都是原來的2倍,所以體積就成為原來的8倍了,因此市民們開始討論究竟要如何才能作出一個體積是原來2倍的祭壇。
用現代數學術語來說,這個問題就變成,如果有一個單位立方體,每邊長度為1 公尺,體積為1立方公尺,那麼我們要如何才能作出一個體積為2立方公尺的立方體呢?
提洛島的居民怎麼想也想不出來答案,所以只能留下這個「倍立方體」的問題,讓後世數學人去傷腦筋。
只是,對承繼古希臘傳統的數學家而言,如果要證明一個「作圖問題」有解,只要拿出尺和圓規示範如何畫出來,再加以解說就可以了。但是,如果這個「作圖問題」無解,又要怎麼證明呢?尺和圓規畫出一個圖形的方法經常有無數個解,那麼解題人要怎麼樣才能確定自己已經試過所有辦法了呢?如果不能試過所有辦法,又要如何證明真的「沒辦法」呢?
想出這個證明辦法的是十九世紀(1777-1855)的高斯。
圖片來源 pinterest
擅長古希臘幾何學的高斯證明了如果圖形的邊長能夠成為二次方程式的解的話,那麼數學家就可以找出用尺規作圖的辦法。如果邊長不能成為二次方程式的解的話,那數學家就無法找出用尺規作圖的辦法。
所以,這下子,倍立方體的問題變成了---體積為 2 立方公尺的立方體邊長應該是多少?這邊長可以成為2次方程式的解嗎?
因為2的立方體的邊長是2的立方根,無法成為二次方程式的根,所以,數學人終於共同認可了「提洛島」的問題在歐基里德幾何中是無解的。
當然,這時距離提洛島問題被提出時已有兩千多年了。
不過,根據歷史記載,西元前四世紀的提洛島居民因為共同努力思考這個太陽神給的題目,因此就齊心解決了原來的內政問題。
Apollo
跳出數學看人與數的關係:一道無解的數學題,居然解決了提洛島的政治問題,人和數與圖的關係還真是處處充滿了矛盾和驚奇啊!




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