合作賽局（Cooperative Game Theory）
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連續三十天的合作賽局介紹挑戰
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我們在 Day 4 時花了大量篇幅講解 Shapley Value 的四大特性：效率性、對稱性、虛擬玩家零收益、可加性。今天要反過來證明說，如果有個效益分配函數滿足這四個特性的話，則這個 f 必定就是 Shapley Value
在合作賽局理論裡，將「特徵函數」視作「向量」，並把所有賽局形成的集合看作一個「向量空間」，能夠為我們提供許多強而有力的數學工具。例如，我們可以用基底來唯一地表達任意賽局，進一步在此空間進行公設、解概念的分析。
本文介紹三大圖論合作賽局：(1) 最小生成樹遊戲：連接供應端；(2) 最短路徑遊戲：共用路段省成本；(3) Steiner樹遊戲：中繼站增彈性。它們均以「子聯盟最小費用」定義成本分攤，廣泛應用於基礎建設、物流等場域。
本案例運用常態近似計算兩家保險自留團體的必要儲備金，證明合併能節省成本，為一個「成本分攤賽局」。再透過合作賽局理論，採 Shapley Value 與核心解，分析利益分配的公平性與穩定性，展現精算與博弈思維的實務價值。
本案例以 Jean Lemaire 在 1991 年發表的〈Cooperative game theory and its insurance applications〉為主要依據，探討保險（或廣義金融）領域中，多家機構共同投資或合資存款後所產生的「合作利益如何分配」問題。
昨日我們看了「市場遊戲」，主要是探討交易者之間結盟，彼此互通有無，則可以創造更大的效益。大家合作是為了「賺更多錢」。今天我們來考慮另一類賽局，大家合作是為了「省下成本」，叫做成本分攤賽局（Cost Allocation Game）
透過服裝市場範例，闡述市場遊戲在合作賽局中的基礎架構與運作模式，展現資源互補成果。透過資源重新分配形成聯盟，顯示了增進總效用可能性，並證明市場遊戲具有超可加性。
本文從字典序不對稱性與凸組合的觀點出發，證明核仁在合作博弈中具唯一性。
透過前 k 個不滿值總和的比較與凸組合保持特性，顯示同時滿足字典序最小時，不滿值向量必一致，從而推出分配方案相同，最終完成唯一性論證。
核仁存在性的關鍵在於：若合作賽局的 Imputation set 非空且緊緻，則可使用極值定理在該集合上逐步最小化不滿值向量，最終得到字典序最小的分配，亦即核仁。故只要 I(v) 非空，核仁即必然存在。
核心 (Core) 是合作賽局中最直觀的穩定解，但有些賽局的核心可能為空、無法同時滿足所有人。此時，我們便退而求其次，將「抱怨」壓到最小，這正是「核仁 (Nucleolus)」的概念。
本文比較加權投票賽局的 Shapley–Shubik 與 Banzhaf 指數。兩者皆用於衡量玩家在形成贏家聯盟時的影響力：Shapley–Shubik 假設所有玩家出場順序等機率，統計誰最常成為「關鍵一票」；Banzhaf 則考量所有子集合等機率，檢視誰能把不贏的聯盟翻盤。
Banzhaf 指數是一種評估玩家在加權投票賽局中成為「關鍵翻轉者」機率的度量標準。透過列舉各個不含目標玩家的聯盟，一旦該玩家加入能使結果由輸轉贏，即累積一次翻轉。如是便能量化其對超過門檻的影響力。本文以我國立法院為例，並計算三黨團在總席次 113、門檻 57 的情境下之 Banzhaf 指數。
本篇文章介紹了加權投票賽局的基礎概念，強調每位玩家擁有不同的投票權重，並在總權重超過特定門檻時即可通過提案。接著透過股東會投票的例子，展示了如何判定哪些聯盟能順利通過，以及什麼是「最小獲勝聯盟」即去除任何一位成員後都無法達到門檻的贏得聯盟。
本文以嚴格的數學證明兩個凸性賽局的定義為等價，兩定義分別為「邊際效益遞增」與「超模（Supermodular）
本文介紹合作賽局中核心（Core）的定義與兩個範例：一個核心為空、另一個核心為一塊多面體，接著解釋凸性賽局（Convex Game）的邊際貢獻遞增性質，並證明此特性能有效保證核心必然非空。
核心（Core）為合作賽局避免分裂的關鍵。當部分玩家組成次聯盟可獲高效益時，大聯盟便失去穩定性。本文透過三人範例，展示如何以線性規劃方法，找到能滿足所有次聯盟需求的分配，從而確保合作穩固與收益最大化。
Shapley Value 是合作賽局中經典的分配方法，本文探討其兩種等價定義：「排列式」與「子集合加權式」。排列式定義透過所有可能的玩家進場順序計算邊際貢獻取平均；子集合加權式則依據子集合大小加權計算邊際貢獻。我們以四人賽局舉例，詳細推導兩種方法的計算過程，並在最後嚴謹證明兩公式的等價性。
Shapley Value 是合作博弈中的公平分配方法，滿足效率、對稱性、沒貢獻的玩家零收益與可加性四大特徵。效率確保總收益被完全分配，對稱性保證貢獻相同的玩家獲得相同分配，沒貢獻的玩家零收益則讓無影響力的玩家獲得 0，可加性確保賽局合併時分配結果也能相加。本文透過數學嚴格證明這些性質
本篇討論超加性賽局中，全體聯盟如何分配總效用。Shapley Value 提出以考量所有進場順序之平均邊際貢獻，藉由取平均使每位成員獲得合理份額，避免單一路徑造成的不公平分配，並促進合作收益更合理化。
本文探討合作賽局理論中的聯盟結構與效益分配問題，並介紹加性賽局、超加性賽局和次加性賽局三種類型，分析不同賽局特性下聯盟行為的趨勢。
