Day 2 合作賽局：聯盟、分配與三種賽局類型
賽局的結果
延續上篇的合資購物
我們延續上篇的合資購物舉例：三位同學 A, B, C 分別擁有 30, 60, 50 元，想要購買一個 90 元的裝置。
姑且不論「能不能真的買到」，這三位同學的結盟狀況從集合論的觀點來說，只會有以下五種狀況：
1.
意思是三個同學都不互相合資
2.
意思是 A 與 B 合資，C 不參與
（以下狀況以此類推）
3.
4.
5.
意思是三位一起合資購買。此狀況也稱為全體聯盟（grand coalition）。
這五種「聯盟結構」呈現出三位同學的不同合作組合，是合作賽局理論關心的核心問題之一：最終會形成哪一種結盟？
不僅如此，我們還要探究「若有足夠錢買下裝置，該如何分配購買後的效用（效益）？」。以下列出幾種可能的效用分配：
{A B} 聯盟可以買到裝置，得到 100 的總效用，於是按人平均分配，三位分別會得到以下的效用：
C 不會得到任何效用，因為他根本沒有參與出資
{B, C} 聯盟也可以買到裝置，按人平均分配的話
{A, B, C} 全體聯盟也可以買到裝置，按人平均分配的話
在此，每個聯盟內的成員能獲得多少效用，就可以用一個「收益分配向量（payoff vector）」
來表示。
而這個收益分配向量，在最終的聯盟結構下（即，大家形成聯盟時），每個聯盟中的人員所分配到的效益總和，應該小於等於該聯盟在特徵函數下所收到的效用 v(C)
這很合理，不然就憑空產生效用了。
數學的定義
給定一個賽局 G = (N, v) 後，我們主要觀察兩件事情：
一、結盟的狀況（聯盟結構）
玩家能依自身利益衝突與合作潛力，組成各種聯盟（coalitions），由此產生不同的合作組合。像是全體聯盟（grand coalition）、部分聯盟或各自為政，都可能帶來截然不同的結果。
這個聯盟結構在數學上記做 CS ，我們將玩家集合 N 劃分成彼此不重疊的子集合集合（partition），也就是說
其中 C_i 都是在這個合作賽局下形成的聯盟。需要滿足
每一個玩家都需要在某個聯盟，就算是一人聯盟，以及
一個玩家不可以同時屬於兩個聯盟。
二、收益分配向量
假設最後真能形成某些聯盟 C，那該聯盟能夠獲得特徵函數 v(C) 所決定的價值。關鍵問題便是如何將該聯盟所產生的總價值合理分配給成員。
我們以「收益分配向量（payoff vector）」
表示各玩家所獲得的報酬大小，其需要滿足可行性條件：在形成的聯盟結構中，對於任意的聯盟 C
也就是整體分配不超出該聯盟所能創造的價值。
當等號成立時（對每個在 CS 中的聯盟 C）
我們說這個分配是有（組成式）效率的（Component Efficient），沒有因分配不當而浪費或損失效用。
如何設計出「既能讓各成員覺得划算」又「保持聯盟穩定」的分配方案，一直是合作賽局探討的核心議題。
常見的三個合作賽局類型
下列三種賽局特性，能幫助我們理解不同合作情境中的「聯盟合併效果」與「分配議題」：
1. 加性賽局（Additive Game）
2. 超加性賽局（Superadditive Game）
3. 次加性賽局（Subadditive Game）
透過分析這些特性，可以初步判斷聯盟的行為，例如「聯盟是否該繼續擴大」、「是否會傾向於被拆散」、或是「結不結盟根本沒差」。
加性賽局（Additive Game）
定義：給定一個遊戲 (N, v) ，若對於任意兩個無交集的聯盟 C 與 D ，特徵函數滿足
則稱此賽局「加性」。意思是若兩個聯盟合併，合併後的總效益剛好等於他們原先各自的效益總和，沒有多餘的「合作增益」或「沖突損失」。
對於加性賽局，「合作或不合作」在 效益面 並不會出現增減，因為兩邊的價值可以完美地「直接相加」。
舉例：合資購買東西，但是是買「水」（可分割的物件）
假設 A B C 要來買水，分別擁有 30, 70, 20 元，而一公升的水一元。因為水可以分割，多少錢就可以買多少水，因此（把能買到多少水當作效用）
而你很快也發現到
他們當然可以合作，但是「合作或不合作」在 效益面 並不會出現超額的增加，因為兩邊的價值可以完美地「直接相加」。
此種賽局其實很無聊，因為沒有超額的效用需要被分配，所以我們幾乎也不用再討論什麼。
超加性賽局（Superadditive Game）
定義：給定一個遊戲 (N, v) ，若對於任意兩個無交集的聯盟 C 與 D ，特徵函數滿足
則賽局具有「超加性（superadditivity）」。代表兩個聯盟合併後，整體價值不會比各自分開時小，多半存在「協同效益（synergy）」。
在超加性賽局裡，大聯盟往往能創造更高的綜效。此時，玩家可能更傾向於合併到大聯盟，以共享更高收益。
常見於策略聯盟、企業併購、研究團隊合流等情境，只要合併就能提升效率或產生新價值。
舉例：假設有兩個玩家（或組織） A 與 B，他們想合作開發一項新產品。透過市調可得知：
單獨行動
玩家 A 若獨立行動，能賣出 30 的收益，玩家 B 若獨立行動，能賣出 20 的收益。（可以想像是單打獨鬥的市場營收）
合作時，若 A 與 B 合作，把各自技術和客戶資源整合，則市場規模能擴大，並減少重複開發成本，最終可以達到
則「合作後」的收益顯著增加（多了 5 的協同效益）。
雙方合作後可能共享銷售管道、品牌影響力，並且在研究成本上分攤，導致市場潛力及利潤都高於原本單獨作戰的總合。這種現象就是超加性：大聯盟（或合作）比單獨行動更能創造價值。
次加性賽局（Subadditive Game）
定義：給定一個遊戲 (N, v) ，若對於任意兩個無交集的聯盟 C 與 D ，特徵函數滿足
則賽局具有「次加性」。意味著兩個聯盟合併後，總效益不見得能超越各自分開時的總和，可能出現「負面衝突」或「效率損失」。
在次加性賽局裡，合併並不能帶來額外好處，反而易造成管理成本、資源重疊或市場內耗。
玩家合併意願通常較低，有時甚至會避免組成大聯盟，因為「合作」導致的掣肘或衝突反而損害整體利益。
舉例（結婚）：
想像有兩個旅遊小團體 A 與 B，各自想出遊放鬆，並打算以「享受程度」作為他們的效用（value）。設定如下：
分頭出遊
團體 A 自行租一間小公寓度假，能獲得 40 的享受度（環境清幽、隱私高）。團體 B 也獨立租一處民宿，有 30 的享受度（空間雖較小，但很自在）。
若 A 和 B 決定聯手，想說「人多好玩」，一次包棟更大的度假屋，理論上享受應該「相加」。但實際上：
人多嘈雜，放鬆感下降；
使用廚房、衛浴的時間常衝突；
興趣、作息不同也產生摩擦。
這些因素讓合併後的實際享受度只有 60。
對照分頭出遊的總合：
這就顯示：
是典型的次加性：合在一起並沒有比分開來得愜意或更高的效用，反而因衝突與擁擠，讓總享受度下滑。
在這個度假情境中，「人多不一定好玩」，有些團體合併後會因生活習慣、隱私需求、空間分配等問題造成負面效果。這種「1 + 1 < 2」的狀況，即體現了次加性的概念：合作反而損耗或壓縮了效用。
整理與比較
給定一個遊戲 (N, v) ，若對於任意兩個無交集的聯盟 C 與 D ，特徵函數滿足
則稱為加性賽局。若對於任意兩個無交集的聯盟 C 與 D ，特徵函數滿足
則稱為超加性賽局。若對於任意兩個無交集的聯盟 C 與 D ，特徵函數滿足
則稱為次加性賽局。
在加性賽局中，結不結盟根本沒差，反正大家的效益都可以加起來
在次加性賽局中，因為玩家結盟會導致效益變低，聯盟結構往往傾向於各自為政。
在超加性賽局中，因為玩家結盟總是會增加效益，聯盟結構往往傾向於結成全體聯盟（grand coalition）。
我們可以透過判斷此賽局是否有以上三者的特性，初步判斷此賽局的最終聯盟結構。
在超加性賽局中形成的大聯盟雖然能產生最高總效益，但如何『公平且穩定』地分配這些收益，才是能否實現合作的關鍵。接下來，我們將帶大家進入 Shapley Value 的世界，一窺其中奧秘。
Takeaway
合作賽局的結果：主要關心 聯盟結構（Coalition Structure）以及效益分配向量（payoff vector）
加性賽局、超加性賽局、次加性賽局：
加性賽局： 1 + 1 = 2 ，合不合做隨便你
超加性賽局： 1 + 1 > 2 ，合作永遠更好，所以大家往往結成全體聯盟
次加性賽局： 1 + 1 < 2 ，合作不會更好，所以大家往往各自為政。
Reference
Branzei, Rodica, Dinko Dimitrov, and Stef Tijs. _Models in cooperative game theory_. Vol. 556. Springer Science & Business Media, 2008.
Chalkiadakis, Georgios, Edith Elkind, and Michael Wooldridge. _Computational aspects of cooperative game theory_. Morgan & Claypool Publishers, 2011.
封面圖片：https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fudn.com%2Fnews%2Fstory%2F7327%2F7994824&psig=AOvVaw15bfY1nQwj6Sh2u6lUj_GY&ust=1739353837005000&source=images&cd=vfe&opi=89978449&ved=0CBQQjRxqFwoTCPDtyJCsu4sDFQAAAAAdAAAAABAJ
