回顧加權投票賽局
「加權投票賽局」（Weighted Voting Game）通常用於分析由多個「玩家」（可以是政黨、董事、股東等）組成的投票情境。每個玩家擁有特定的「權重」（weights），例如政黨的席次或股東所持股份。
- 在這種賽局中，會設置一個「門檻」（quota），只要某個子集合（coalition）的權重總和達到或超過門檻，即視為「獲勝聯盟」。
- 加權投票賽局的核心問題在於：哪些玩家對最終是否能超過門檻擁有關鍵影響力？我們可以透過各種「權力指標」來度量此種影響力，而 Banzhaf 指數便是其中常用的一種。
介紹 Banzhaf 指數
Banzhaf 指數的中心思想如下：在各種可能的聯盟中，誰的加入會比較常導致「翻轉獲勝」，那我們就說誰的權力影響力較大。聽起來很抽象對吧？我們看實例：
從立法院的例子看起
目前來講，我國的立法院有三個黨團，這裡假設理想狀況，也就是三黨都是「團進團出」。總席次為 113 席，過半票數為 57 票，三黨團的人數分布如下：
- 民主進步黨黨團：51 席
- 中國國民黨黨團：54 席
- 台灣民眾黨黨團： 8 席
則此加權投票賽局可以寫成：
分別有權重
門檻為 q = 57
特徵函數為
我們對三個黨團分別分析他們「翻轉」的情況：
對於民主進步黨黨團來說：
若目前聯盟為空集合，加入前的效用為：
而民主進步黨黨團的加入會產生權重（票數）與效用
會讓聯盟產生 51 票，無法達到門檻 q = 57 ，因此效用仍然是 0 。沒有發生翻轉。
若目前聯盟為 { KMT }，加入前的效用為：
因為他只有 54 票，無法達到門檻 q = 57
而民主進步黨黨團的加入會產生權重（票數）與效用
會讓聯盟產生 105 票，達到門檻 q = 57 ，因此效用變成 1 。發生翻轉。
若目前聯盟為 { TPP }，加入前的效用為：
因為他只有 8 票，無法達到門檻 q = 57
而民主進步黨黨團的加入會產生權重（票數）與效用
會讓聯盟產生 59 票，達到門檻 q = 57 ，因此效用變成 1 。發生翻轉。
若目前聯盟為 { KMT, TPP }，加入前的效用為：
因為他已有 62 票，達到門檻 q = 57
因為投票已經可以通過，此時民主進步黨黨團的加入已不會發生翻轉。故沒有發生翻轉。
總結來說，民主進步黨黨團在四種可能的聯盟中，會在其中兩次造成翻轉。
在此情況下，我們會說 Banzhaf 指數等於 2
我們來快速對其他兩黨團進行同樣的分析：
KMT (54 席) 的翻轉次數
- 其他玩家：{ DPP, TPP }。子集合如下：
- S = ∅：席次 = 0 < 57 → 輸；加入 KMT 後 = 54 < 57 → 仍輸 → 無翻轉
- S = { DPP }：席次 = 51 < 57 → 輸；加入 KMT 後 = 51 + 54 = 105 ≥ 57 → 贏 → 翻轉 +1
- S = { TPP }：席次 = 8 < 57 → 輸；加入 KMT 後 = 54 + 8 = 62 ≥ 57 → 贏 → 翻轉 +1
- S = { DPP, TPP }：席次 = 51 + 8 = 59 ≥ 57 → 贏；加 KMT 後 = 113 ≥ 57 → 仍贏 → 無翻轉
- 總計翻轉次數：兩次，Banzhaf 指數等於 2
TPP (8 席) 的翻轉次數
- 其他玩家：{ DPP, KMT }。子集合如下：
- S = ∅：席次 = 0 < 57 → 輸；加 TPP = 8 < 57 → 仍輸 → 無翻轉
- S = { DPP }：席次 = 51 < 57 → 輸；加 TPP = 51 + 8 = 59 ≥ 57 → 贏 → 翻轉 +1
- S = { KMT }：席次 = 54 < 57 → 輸；加 TPP = 54 + 8 = 62 ≥ 57 → 贏 → 翻轉 +1
- S = { DPP, KMT }：席次 = 51 + 54 = 105 ≥ 57 → 已贏；加 TPP = 113 ≥ 57 → 仍贏 → 無翻轉
- 總計翻轉次數：兩次，Banzhaf 指數等於 2
所以三者的 Banzhaf 指數都是 2
你也可以考慮正規化的 Banzhaf 指數，也就是同除一個數字，好讓三者加起來等於一：
從這裡你可以得到結論，雖然席次差距很大，但是因為要「過半票數」才能通過決議，所以 TPP 雖然席次很少，但是在 Banzhaf 指數的看法裡，其影響力與其他兩大黨是完全相當的。
正式的數學定義
令此加權投票賽局為賽局記為 G ， N = {1, ..., n} 為玩家集合，並且對應的權重 w 、門檻 q 以及特徵函數 v 都設定好。
則（非正規化的） Banzhaf 指數定義如下
意思是對任一不包含玩家 i 的聯盟 S，若有發生翻轉，則特徵函數應該會呈現
若無發生翻轉，則特徵函數應該會呈現
或
而求和符號就會加總出翻轉的次數，也就是 Banzhaf 指數。
至於正規化的 Banzhaf 指數，就是在計算完畢所有的 Banzhaf 指數後，同除總和：
這樣一來所有正規化的 Banzhaf 指數其總和就等於 1，便於比較其「相對權力」大小。
Takeaway
- Banzhaf 指數著重「翻轉」的次數，強調在各種可能的聯盟（或隨機選擇）中，哪個玩家能使聯盟由輸變贏。
- 在加權投票賽局中，大黨未必擁有最高指數：如果大黨單獨無法過半，就仍然需要其他黨的支持，最終翻轉次數不見得「絕對超過」小黨。
- 小黨（如 TPP）有機會成為「關鍵少數」：只要能補足或左右臨界門檻，即使席次少，也有較高的翻轉可能。
- 具體計算能呈現真實政治現象：若現實中有更多政黨、無黨籍，需要更繁瑣的列舉或電腦程式，但概念相同，Banzhaf 指數仍提供一個看「誰最常扮演臨門一腳」的數量化工具。
Reference
Chalkiadakis, Georgios, Edith Elkind, and Michael Wooldridge. _Computational aspects of cooperative game theory_. Morgan & Claypool Publishers, 2011.a
