黃金比例、白銀比例、青銅比例 - 才不是聖鬥士呢!

閱讀時間約 2 分鐘
大家都很熟悉黃金比例,但是你聽過白銀比例嗎?你聽過青銅比例嗎?這些比例到底是多少、怎麼來的、又有什麼用途呢?

1) 這些比例是多少?

  • 黃金比例 - (1+√5)/2 : 1,約等於 1.618 : 1
  • 白銀比例 - (1+√2) : 1,約等於 2.414 : 1
  • 青銅比例 - (3+√13)/2 : 1,約等於 3.303 : 1
有些人會把白銀比例「-1」,也就是「√2」,因為這樣會更有實用性,這部分稍後會再說明。

2) 這些比例怎麼來的?

我們這裡不討論數學史,純粹解釋要如何算出這些數字。
請看下圖。
第一排是黃金比例,算法是「a:b = (a+b):a」。如果假設「b=1、a=x」,就可以替換成「x:1 = (x+1):x」。
重新排列後,我們可以得到「x^2-x-1 = 0」,再經計算後得到「x = (1+√5)/2」。
黃金比例就是這樣來的喔。
第二排是白銀比例,算法是「a:b = (2a+b):a」;第三排是青銅比例,算法是「a:b = (3a+b):a」。
同樣的,如果假設「b=1、a=x」,分別可以得到「x^2-2x-1 = 0,x = 1+√2」(白銀比例)、「x^2-3x-1 = 0,x = (3+√13)/2」(青銅比例)。
數學家們稱這些為「貴金屬比例」,公式為「a:b = (na+b):a,n為自然數」,也可以用「x^2-nx-1 = 0,n為自然數」來表示。

3) 這些比例有什麼用途?

黃金比例那麼有名,主要和它的美學特性有關。
圖片來源:維基百科
白銀比例其實比想像中更常見。正八角形就包含了白銀比例,我們在很多傳統建築和藝術品上都能看到。
除此之外,我們平常使用的紙張也是白銀比例。嚴格來說,是一種白銀比例的延伸,最主要的特性是,紙張的長寬比為「√2:1」,因此把2張同樣大的紙放在一起形成更大的紙張時,長寬比維持不變。
圖片來源:維基百科
如果我們想把一般紙張裁切成真正的白銀比例,就以紙的短邊畫一個正方形,把正方形裁切掉就可以了。另外,如果以白銀比例的短邊畫一個正方形,把正方形裁切掉,又會變回普通紙張的比例喔。
不信的話,你可以拿出紙筆自己算算看。
青銅比例:雖然有這玩意,但在日常中好像沒什麼用途。
參考資料:
  1. Metallic mean - Wikipedia
  2. Meet the Metallic Means - Scientific American Blog Network
  3. Golden ratio - Wikipedia
  4. Silver ratio - Wikipedia
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