統計急救箱──標準分數
在知道平均數與標準差之後，就可以進一步了解什麼是所謂的「標準分數」了。
標準分數的公式
標準分數是一種透過平均數與標準差的組合，將原始分數進行轉換的過程。它的公式是這樣的：
標準分數 (z分數) 的公式
當我們有一群分數，只要將其中某個數值減去整體的平均數，接著再除以整體的標準差，就會得到該數值的標準分數。這個分數有個專門的名字，叫做Z分數。
標準分數與原始分數的關係
在標準分數的轉換當中，總共做了兩件事情：1. 將分數減去平均數。2. 除以標準差。這兩件事情在數線上，分別對應到了兩個動作：1. 平移。2. 縮放。
Z分數對原始分數做了兩件事
當我們把一群數字裡的每一個數值都加上或者減去某個特定值，這個動作就叫做平移。因為每一個數值都有加 / 減相同的數，因此每個數值之間的相對位置並不改變，改變的只有數值的大小。
例如某次全校段考，數學科某道題目出不好，老師們最後決定此題送分，全校學生數學考試的分數都加3分。那我們即使不去計算全校學生的數學成績，也可以知道全校學生的數學成績平均數增加了3分。而且因為全校都加分，所以並不會造成名次（分數的相對位置）的變化。
如果把數值依據大小分別排列成一條數線，所謂的平移就是指移動數線上面的刻度。例如下圖當中，當我們把每一個黑色小人的分數都減去5，也就等於是把數線的0點移動到原本5的位置。比較大的橘色人像代表的就是黑色小人的平均數，因此標準分數在數線上的意思就是把原點0移動到平均數的位置（又稱為平減centering）。
平減 / 中心化就是將原點移動到平均數的位置
所以我們知道了對全部分數做加減是移動刻度，但在標準分數的第2個步驟中還有除以某個數，它在數線上面的意義又是什麼呢？
對全部分數做乘除，其實是將刻度進行縮放。假如將每個分數乘以2，原本是1的分數會變成2，2的分數會變成4，3的分數會變成6......每個分數都是原本的兩倍，但我們會發現這些分數的相對位置仍然沒有改變。這些數值的改變，也可以說是原本的刻度縮減了一半──原先如果是以1公分為單位，每個分數都乘以2就像是把刻度改為0.5公分一樣。於是每個分數的意義，就會從原本的「某長度是1公分的幾倍」變成「某長度是0.5公分的幾倍」。
例如下圖，將平減後的每個數值都除以標準差，實際上可以視為將分數的尺度改成以標準差為單位。轉換後的分數值，實際上是「標準差的幾倍」的意思。
分數除以標準差，就是改以標準差為刻度
標準分數的意義與功用
經過上面的解釋，標準分數的意義就很清楚了。當我們把某個分數轉換成為標準分數，它的意思就是以平均數為原點，以標準差為單位所計算出的新數值。用更白話的方式說就是：
每個分數距離平均數有多少個標準差的距離。
不過一個分數好端端的幹嘛去轉換成標準分數？
這是因為在社會科學研究當中，我們會面臨很多單位彼此不同的變數。雖然我們不一定會直接拿它們做四則運算，不過光是對單位不同的數值做描述，就有可能令我們頭痛了。
例如我有五個人的身高和月收入所得資料如下圖，橘色為平均數。
五個人的身高與月收入資料
如果今天我不先計算出平均數（請把橘色的部分遮起來），會發現我們很難立刻看出這五個人的身高和收入排名，於是我們先把原點平移到平均數，也就是做平減，結果如下圖。
平減後的身高與月收入資料
這時候我們可以比較容易看出每個人的排名了，但又有另一個問題：怎麼判斷和平均數差多少？例如A的身高比平均值矮11.4公分，這樣是矮很多嗎？那他收入比平均少6.4K，這樣是少很多還是少一點點？
會出現這個問題，就是因為身高和收入不僅有不同的單位（一個是公分，一個是千元），同時兩群數值也有各自的分散程度（各有各的標準差）。在一群很分散（標準差很大）的數值當中，跟平均差很多是很正常的事情；但在一群很集中（標準差很小）的數值當中，跟平均差很多就顯然不太正常了。
標準分數在分母除以分數的標準差，為的就是解決單位不同與分散性不同所造成的影響。我們來看看將上圖的資料除以標準差之後是什麼樣子：
標準化之後的身高與收入資料
這時候會發現圖中的數值已經不再標記單位了，這是因為標準分數是沒有單位的，z分數的單位就是標準差。例如剛剛舉例的A，現在我們可以知道他的身高比平均還要矮1.27個標準差，而他的月收入則比平均少0.71個標準差。
總結來說，標準分數的重要功能在於它可以讓我們比較不同單位的分數。像上面舉例的身高和月收入，不僅單位不同，分散程度也不一樣，但在標準化之後就能讓我們比較清楚的知道這五個人在群體當中的位置大概在哪裡。
統計學裡面也時常會面臨到要進行跨單位比較的情況，所以未來我們還是會不斷碰到「標準化」這個名詞的。
這個月實在太過忙碌，結果拖了3週多才寫了新的一篇，希望之後出稿時間可以更穩定一點。
描述統計大概再過一到兩篇就會結束啦～（然後是令人害怕的推論統計）
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