一般民主之缺陷- 阿羅不可能定理(一)

本系列將分三部分，第一篇將試著為讀者介紹阿羅不可能定理。

「一人一票，票票等值。」此為最直觀的公平投票方式，也是我們對民主產出最熟悉的方式，然而，2020年的現在，我們看到了許多民主國家呈現了兩種特殊的風格，一是寡頭政治(財團、家族)的復辟(菲律賓、印度)，另一則是民粹意識抬頭(美國)。為何本是強調公平的投票制度，可能造成了這樣的特色興起呢? 或許阿羅不可能定理(Arrow's Impossibility Theorem)可以提供我們一個思考的途徑。

首先介紹阿羅不可能定理：

1. 可供選擇(不等於候選項目)不少於3個。

2. 排除人際效用的可比性：我們不能把對各不同事件的情緒反應做比較。

3. 而且在一個相當廣的範圍內對任何個人偏好排序集合都有定義：投票人對被投票選項皆有不同但明白的喜歡次序。

結論：把個人偏好總合為社會偏好的最理想的方法，要麼是強加的，要麼是獨裁的。將其白話：每一個選民對公投政策選項、候選人的偏好，無法藉由簡單多數決整合為社會/國家偏好。再更簡單解釋，這兩年有關注香港的台灣朋友(我指的是閱讀當地新聞(都是繁體)與社論的參與，而不是臉書轉發文章或影片並附上些無關痛癢文字的參與)，應該對阿羅不可能定理感到熟悉，因為這正是建制與泛民的筆戰熱點，也是該定理的結論：選舉不一定能反映大多數人的意願。

阿羅不可能定理證明方式有兩種，一種只用簡單的數學概念但稍複雜，另一種據說簡單明瞭，但需要對布林代數有一定的了解，那身為文組的我，肯定是用第一種來寫。

今共有甲、乙、丙三人可投票，可供選擇共A、B、C三項，三人分別對其喜好順序為：
甲：A>B>C

乙：C>A>B
丙：B>C>A

也就是變成了A>B>C>A這樣的循環，得證：選舉不一定能反映大多數人的意願。

如果試著把候選項限縮為僅兩項對決(兩黨政治、政治左右光譜對決)，A與B之間，甲將會投A、乙投A、丙投B，則A選項勝出。若改為B與C之間，則B獲勝。C與A之間，C勝選。三次選舉中，既無境外勢力也無舞弊干擾，純粹乾淨的神聖投票過程與誠實的選民，然依舊無法找出最理想選項，因三個可供選擇皆有中選可能，獲選與否取決於哪兩個成為候選項目。

在阿羅之後，更有學者證明，候選方案越多、投票者偏好越具差異，阿羅不可能定理發生的機會越大。即便候選方案縮減，如前述提到的兩黨對決，因現代社會發展與分工，人群間的分群已日趨常見且多元，各種非主流、次級團體、亞文化出現，藉著通訊普及增強了彼此的連結，不同的偏好順序只會越發複雜且強硬，將難趨於一致。