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中學以下的素養教育與經驗談:國一下數學篇──二元一次聯立方程式(下)

閱讀時間約 4 分鐘
每篇都要再次說明,所有的教學方法與手段,完全要看:
  1. 個人因素
  2. 社經背景
  3. 對應教材與年齡
沒有百分百適用,也不會有一招行天下的密技,最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材,只要學生本身完全沒有學習的意願,都是沒有用的,這時候就得要換其他方式,不能只看教材與方式。

聯立方程式:抓出條件的交集

總之,當二元一次方程式跟列出所有解,以及應用題都沒太多問題後,就會進入解聯立方程式的範圍。在此要建立的第一個概念,就是兩個未知數就得要兩個方程式去求,才會有唯一解。
例如上篇最後,小英錢包的問題可以改成下題:
範例:小英的錢包內有50元,已知全部都是5元與10元硬幣,且硬幣數量兩種合計有8個,請問這兩種硬幣的數量為何?
解說:假設5元硬幣有x個,10元硬幣有y個,可列式如下
  • 5x+10y=50 兩種硬幣加起來總共50元
  • x+y=8 兩種硬幣數量總共8個
答案:5元硬幣有6個,10元硬幣有2個
其他雞兔同籠、爸爸兒子的年紀等題型,都是類似的解法。其中筆者覺得最容易出錯的,在應用題的文字敘述部分。

在敘述中找到條件,並能解釋算式代表的意義

如果同學解純聯立方程式運算的題目都很OK,但就是應用題錯的一蹋糊塗,那十之八九是看不懂題目,或者說找不到條件。像是:
範例:這次段考表現不錯,班導師買披薩請同學吃,已知男生平均每人吃4片,女生吃3片,班上同學總共20人,共買了切12片的披薩6個,且剛好吃完,請問班上男生與女生人數各幾個?
解說:條件有兩個,吃的總片數跟班上總人數,假設男生有x人,女生有y人,可列式如下
  • 4x+3y=12×6=72 男生各4片+女生各3片=每份12片買了6個
  • x+y=20 男生+女生=20人
答案:男生12人,女生8人
此題的條件,一個是披薩吃的數量,另一個是班級人數。通常二元一次聯立方程式的應用題,總是會有兩個明確不同的數量可以找到。如雞兔同籠,雞腳2隻、兔腳4隻,總會告訴你腳的總數量跟兩種動物的總數。
學生會昏的理由,是只記得要列式,但不記得要把應用題的數學式,用白話文解釋出來。
筆者的建議,是家長或是老師,要同學「把你列的方程式代表什麼講出來」,講出來就知道漏了什麼,不少學生透過自己解釋列式,就突然發覺漏了什麼。

繪製圖形

而這裡最後,就是所謂的繪製圖形,以下圖形均由GeoGebra繪製,然後截圖貼上;這是很好用的網站,請各位家長與教師不要忘了。
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進入一下後,數學的難度會突然上升一個階段,主要原因是方程式從一元變成二元,未知數多了一個,很多同學無法繼續用「填方塊」的概念,怎樣都得進入代數的領域。於是,有些一直用小學方式撐過一上的,到了這邊就倒了。
要改變,筆者的想法是,教育體制要做點修正了。產業界如果對人才的渴求真的如此迫切,那麼自己出點錢是有必要的。現在我們往往都聽那些頂大生講話,但這些人其實最不需要參考,他們放著不管,都會是各領域的翹楚,為他們量身打造的結果,就是階級更加固化。
要往上翻一階級非常難,你要具備的資本早就不是一種就好。過去一無所有,取得經濟資本就可算翻身,但已經有一種資本的,除了要維持自己原有的以外,還得小心翼翼取得其他型態的資本,這一不小心,可能會敗家敗下去成為藍領勞工階級。 這種立足點不穩固的恐懼感才是真的。
現代教育越來越講求普及性,篩選出適性人才,其實是站在一個整體的角度。現代產業的各種技能,有些需要非常頂尖的腦袋,如果以繼承制運行,這會變成老爸技能100,你最差可能變成10,別說維持家業,撐得過1年不倒都算奇蹟。
現代公民非常實際,很多家長與朋友可能都誤會了。但筆者碰過不少認真的老師,很努力從教師手冊,跟上網與其他老師討論,就是上到學生提不起興趣。然後筆者以前在補習班聽到的抱怨還是一樣,不懂老師在講什麼。因為欠缺現實感。
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