上古漢語的邏輯結構 045

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

• 1.2.1 中譯的來源
• 1.2.2 一個速度問題
• 1.2.3 幾何的方法
• 1.2.4 微積分的記法
• 1.2.5 弦的振動
• 1.2.6 熱的傳導
• 1.2.7 十九世紀的尾聲

四

公元1887年，德國數學家理查德‧戴德金 (Richard Dedekind) 在《數是什麼並且有什麼用﹖》³⁹ 一書中對函數定義如下﹕

(F_D) 我們將系統 S 的映射理解為一條律則，按此律則，S 中的每個確定元素 s 皆有相關聯的一個確定對象，後者稱為 s 的像，並以 Φ(s) 指稱﹔我們又說，Φ(s)  對應元素 s，而 Φ(s)  由映射 Φ 從 s 引致或生成出來，同時，s 被映射 Φ 變換成 Φ(s)。[Rüthing 1984: 75]

 我們可以這樣理解 (F_D)﹕S 是個定義域 (即一個集)，域內的每一個確定元素 s 都有一個 s'，後者稱為「s 的像」(image of s)，s 和 s' 之間的對應關係是個映射 (mapping)﹔因此 Φ(s)＝s'。顯然，Φ 是個函數。這個定義沿用波爾查諾的思考路向，是公元十九世紀完結之前最嚴謹的函數定義。⁴⁰

迄今為止，從上述關於函數的討論中，最突出的一點顯然是函數是個關係。實際上，凡函數皆關係，但反之不然。因為函數是一種特殊關係，而這類關係都必須「循規蹈矩」﹔很多關係卻「行為不端」。

函數在行為上要遵守什麼「規矩」呢﹖

試看一下 x²。將論域設為整數，我們發現，無論自變元 x 是整數中的任一元素，我們必然都可以得出應變元 x² 的值﹕

而且得出的只有一個，不能多，也不能少。這是函數必須遵守的一個「規矩」﹔反過來，這個「規矩」是定義函數的中心概念。換句話說，函數中應變元的值是獨一無二的或唯一的。就這個特徵而言 —— 即任一輸入值決定唯一的輸出值 —— 函數要解決的主要是判定問題﹔此所以函數在數學的領域中的重要性不容置疑。

在整個函數的發展史中，數學工作者在求解過程裡其實都在尋找一個這樣的規則。

科學的一個理想假設就是計算必須有結果，而結果最好只有一個，以方便做出黑白分明的結論。假如有一個計算程序，這個計算程序在設定條件下不能保證必然會有一個結果，或雖然能保證有結果但卻不能確保該結果為唯一的，這樣的一個計算程序便不好用或在很多應用領域上沒有實用價值。

函數是一種判定機制。

在下一章，我們要探討的是這個機制的延伸。

__________

³⁹ Was sind und was sollen die Zahlen? 。此文的漢譯通常是「數是什麼並且應該是什麼﹖」，是誤譯，英譯的「What are numbers and what should they be?」也是誤譯。漢譯的依據本很可能是英譯本。「... was sollen die Zahlen」中的「sollen」(一般解作「應該」) 不應解作漢語的「應該」或英語的「shall」。假如要作「應該」解，「sollen」，作為一個輔助動詞，需要一個主動詞，因此原句需寫作「... was sollen die Zahlen sein」(「sein」= 英語的「be」) ，配合整個複句的結構後則應寫作「Was sind die Zahlen und was sollen sie sein?」或「Was sind und was sollen die Zahlen sein?」。在德語中，不作輔助動詞用的「sollen」大概類似英語的「for」，比如「Was soll das?」便有點類似英語的「What is it for?」。原句的「sollen」顯然不作輔助動詞用，因此「... was sollen die Zahlen?」應該解作「... 有什麼用﹖」的意思。況且，「數是什麼並且應該是什麼﹖」本來就不是太有意思的一個句子。要是解決了前面的問題 (數「是」什麼﹖)，後面的問題 (數「應該」是什麼﹖) 如非重沓則無甚意義。再說， Was sind und was sollen die Zahlen? 一文分兩部份，第一部份試圖創建一個數的邏輯理論，第二部份則要證明完全歸納法 (數學歸納法) 的原則﹕按內文結構，前部研究數是什麼東西，後部則是這個東西的用法，當無異議。

⁴⁰ 廿世紀的數學工作者還提出了好幾個函數定義，比如哈代 (G.H. Hardy﹔1908)﹑皮亞諾 (G. Peano﹔1911)﹑古爾薩 (E. Goursat﹔1923)﹑布爾巴基 (N. Bourbaki﹔1939) 等都各自提出了他們的定義，但對我們的目的來說，這些定義都可以省略。

待續