The Nature of Code閱讀心得與Python實作：2.5 Modeling a Force

模擬世界是我們寫程式造出來的，我們就是模擬世界的主宰，所以各種作用力要長什麼樣子、要怎麼個作用法，都由我們決定。不過，如果希望這些作用力看起來像真實世界的作用力一樣，那在寫程式的時候，套用這些作用力在真實世界中的物理公式，會是比較省時省力的做法。

要套用真實世界作用力的物理公式，在模擬世界中呈現出這些作用力的效果，可以依循下列的步驟：

• 瞭解作用力背後的觀念
• 將描述作用力的數學式分解成方向和大小兩個部分，以計算作用力向量
• 將數學式寫成程式碼，以便產生使用Mover類別的apply_force()方法時，所需傳入的pygame.Vector2物件

摩擦力

摩擦力(friction)是當兩個物體接觸時，在接觸面所產生的，阻止彼此間相對運動的一種力。摩擦力是一種耗散力(dissipative force)，也就是說，運動中的物體，會因為這種力的作用，而導致系統的總機械能降低。例如，開車踩煞車時，煞車皮會利用和輪子間的摩擦力來降低車速。這時候，系統的動能會轉變成熱能。因為熱能並不屬於機械能，所以系統的總機械能因為摩擦力的作用而降低了。

摩擦力分為靜摩擦力(static friction)和動摩擦力(kinetic friction)。靜摩擦力是指，當力量作用在靜止的物體上，而物體仍然保持靜止狀態時的摩擦力；相對的，當物體在運動時的摩擦力，就是動摩擦力。在這裡，為了簡化起見，我們只會看動摩擦力的部分。

摩擦力的作用方式如上圖所示，其計算公式是：

f = −μNv̂

其中，v̂是速度的單位向量；μ是摩擦係數(coefficient of friction)；N是正向力(normal force)的大小。

摩擦力的公式可以拆解成−v̂及μN兩個部分；前者是摩擦力的方向，後者是摩擦力的大小。由上圖可以看出來，摩擦力的方向和物體的運動方向相反。因為物體的運動方向是v̂，所以公式中的−v̂，就是摩擦力的方向。至於摩擦力的大小方面，要先知道摩擦係數μ及正向力N的值，才有辦法計算。

先來看看在模擬時，摩擦係數怎麼設定。真實世界中，不同的材質表面，會有不同的摩擦係數，摩擦係數越大，摩擦力會越大；摩擦係數越小，則摩擦力會越小。在真實世界中，摩擦係數需經由實驗來測定；但在模擬時，畢竟是在虛擬世界中，只要模擬出來的效果達到要求，摩擦係數的大小，可以自訂。

接著來看正向力N。當物體在某個接觸面上運動時，因為重力的關係，會有力量施加在接觸面上。根據牛頓第三運動定律，這時會有一個垂直於接觸面的反作用力施加在物體上，這個垂直於接觸面的力就是正向力。重力越大，正向力會越大。因為重力跟質量有關，所以質量越大的物體，正向力也會越大，因而感受到的摩擦力也就越大。

在計算正向力時，因為接觸面不一定是水平的，而有可能如上圖般，有個傾斜的角度。這時候，正向力的大小並不等於重力的大小，所以要想知道正向力的大小，就必須知道傾斜的角度，然後利用三角函數來算出正確的值。不過，現在我們先不管那麼多，反正我們主要的目標是要模擬出摩擦力的效果，先假設正向力的大小是1，就足以達成現階段的目標。

知道怎麼計算摩擦力的方向和大小之後，將摩擦力的計算寫成函數，方便後續呼叫使用

def friction_force(mu, velocity, N=1):
    if velocity.length() > 0:
        v_hat = velocity.normalize()
    else:
        v_hat = pygame.Vector2(0, 0)  

    return -mu*N*v_hat

使用friction_force()這個函數可以算出摩擦力，但在什麼時候使用呢？這個問題沒有標準答案，一切就看我們的需要而定。接下來，就來看看加入摩擦力效果的例子。

假設mover是個半徑為radius的圓，我們希望當它接觸畫面底部時，會受到摩擦力的作用，這時程式該怎麼寫呢？

要判斷圓形的mover有沒有接觸畫面底部，可以在Mover類別中加入下列方法：

def contact_edge(self):
    return self.position.y > self.height - self.radius - 1

這樣子，當mover跟畫面底部的距離在1個像素以內時，就會被判定是接觸到底部。

接下來，我們再加入非彈性碰撞(inelastic collision)的效果。

先前我們在模擬mover碰到畫面邊緣而往回彈時，都假設那是不會逸失動能的「理想化彈性碰撞」(idealized elastic collision)，所以mover的速度大小不變。不過，在真實世界中，這種情況幾乎不會出現；在真實世界中的碰撞，絕大多數都是非彈性碰撞。當一個網球向下掉，碰到地面後反彈，每次反彈的高度會越來越低，就是非彈性碰撞的一個例子。

要讓mover碰到畫面底部或左右兩邊時，可以以非彈性碰撞的方式反彈，方法很簡單，就只要讓它在反彈之後，速度大小以一定的比例減少就可以了。將這個做法寫成Mover類別的方法，程式碼如下：

def bounce_edges(self):
    # 碰壁反彈時，喪失10%的速度
    bounce = -0.9
    
    if self.position.x > self.width - self.radius: 
        self.position.x = self.width - self.radius
        self.velocity.x *= bounce
    elif self.position.x < self.radius:
        self.position.x = self.radius
        self.velocity.x *= bounce
        
    if self.position.y > self.height - self.radius:
        self.position.y = self.height - self.radius
        self.velocity.y *= bounce 

下面這個例子，就是在Example 2.3中，除了重力、風力之外，再加入摩擦力的效果。

Example 2.4: Including Friction

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 2.4: Including Friction")

WHITE = (255, 255, 255)

width, height = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

# 摩擦係數
mu = 0.1

# 由左向右吹的風
wind = pygame.Vector2(0.5, 0)

# 因為只有一個物體，沒有其他質量不同的物體對照下，
# 重力直接設定數值，不會影響模擬效果
gravity = pygame.Vector2(0, 1)

mover = Mover(width//2, 30, 3)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    mover.apply_force(gravity)
    
    # 按下滑鼠左鍵時才有風
    if pygame.mouse.get_pressed()[0]:
        mover.apply_force(wind)
    
    # 接觸畫面底部時會感受到摩擦力的作用    
    if mover.contact_edge():
        friction = friction_force(c, mover.velocity)
        mover.apply_force(friction)
    
    mover.bounce_edges()    
    mover.update()
    mover.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS) 

加入摩擦力之後，運動中的物體會因為摩擦力的作用而減速。因為摩擦力的作用方向總是和物體的運動方向相反，所以只要摩擦力持續作用，不管物體的運動方向如何改變，它的運動速度就會越來越慢。因此，當mover因為非彈性碰撞而不再彈跳，就只在底部移動時，速度會越來越慢，最後停止。藉由調整摩擦係數及bounce_edges()裡頭bounce的數值大小，可以加快或減慢這個過程。

Exercise 2.6

有兩個物體時，重力部分的做法，就跟Example 2.3中的做法一樣，分別乘上物體各自的質量

gravityA = gravity*moverA.mass
gravityB = gravity*moverB.mass

摩擦力部分，在計算時，分別用物體各自的摩擦係數就可以了。

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 2.6")

WHITE = (255, 255, 255)

width, height = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

# 摩擦係數
muA = 0.1  
muB = 0.05

# 由左向右吹的風
wind = pygame.Vector2(0.5, 0)

# 向下的重力
gravity = pygame.Vector2(0, 1)

moverA = Mover(200, 30, 5)
moverB = Mover(500, 30, 2)

gravityA = gravity*moverA.mass
gravityB = gravity*moverB.mass

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    moverA.apply_force(gravityA)
    moverB.apply_force(gravityB)
    
    # 按下滑鼠左鍵時才有風
    if pygame.mouse.get_pressed()[0]:
        moverA.apply_force(wind)
        moverB.apply_force(wind)
    
    # 接觸畫面底部時會感受到摩擦力的作用     
    if moverA.contact_edge():
        friction = friction_force(muA, moverA.velocity)
        moverA.apply_force(friction)
    
    # 接觸畫面底部時會感受到摩擦力的作用     
    if moverB.contact_edge():
        friction = friction_force(muB, moverB.velocity)
        moverB.apply_force(friction)    
    
    moverA.bounce_edges()    
    moverA.update()
    moverA.show()
    
    moverB.bounce_edges()    
    moverB.update()
    moverB.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

把計算摩擦力的功能寫成Mover類別的方法，並沒有太大的意義。因為摩擦力是和其他物體有交互作用時才會產生的力，並不是mover物件本身的性質或單獨會有的行為。重力也是類似的情形。既然重力是計算好之後，再用apply_force()作用在mover上，並沒有把它寫成是Mover類別的方法，摩擦力也就比照辦理就可以了。

Exercise 2.7

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 2.7")

WHITE = (255, 255, 255)

width, height = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

# 摩擦係數
mu = 0.1

# 向右上方拋擲物體的力
toss = pygame.Vector2(10, -25)

# 因為只有一個物體，沒有其他質量不同的物體對照下，
# 重力直接設定數值，不會影響模擬效果
gravity = pygame.Vector2(0, 1)

mover = Mover(width//2, 30, 3)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
        elif event.type == pygame.MOUSEBUTTONDOWN:
            if event.button == 1:
                # 把速度歸零再施力，效果看起來比較好
                mover.velocity *= 0
                mover.apply_force(toss)
    
    screen.fill(WHITE)    

    mover.apply_force(gravity)
    
    # 接觸畫面底部時會感受到摩擦力的作用
    if mover.contact_edge():
        friction = friction_force(mu, mover.velocity)
        mover.apply_force(friction)
    
    mover.bounce_edges()    
    mover.update()
    mover.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

阻力

當物體在流體中運動時，也會感受到摩擦力的作用。不過，在流體中的摩擦力，跟上一節所提到的，因接觸固體表面而產生的摩擦力，在特性上有些不同。雖然兩者不同，但引起的效應是一樣的，就是都會讓物體慢下來。

在流體中的摩擦力有許多不同的名稱，例如viscous force、drag force、fluid resistance等。在這本書中使用的，主要是drag force這個名稱。中文翻譯的話，有譯成「阻力」的；也有譯成「拖曳力」的，不過在網路上看到的資料中，用「阻力」的比較多。

阻力，記為F_d，其計算公式是

F_d = − 0.5 ρ v² A C_d v̂

公式中的負號代表作用力的方向和速度的方向相反，其餘各項所代表的，分別是：

• ρ：流體的密度。
• v：物體相對於流體的運動速率。如果流體是靜止的，這一項就是物體的運動速率。
• A：frontal surface area，物體在流體中前進時，垂直於前進方向的截面積。
• C_d：阻力係數，是個常數。
• v̂：速度的單位向量。

這條公式可以拆解成−v̂及0.5 ρ v² A C_d兩個部分；前者是阻力的方向，後者是阻力的大小。

瞭解公式中各項所代表的含意之後，可以利用一些小技巧來簡化公式，而不至於影響模擬的效果。例如，公式中的0.5 ρ C_d可以合併成一項來看待，不需要分別設定ρ、C_d的值；也就是說，可以令

C̃_d = 0.5 ρ C_d

然後直接設定C̃_d的值來進行模擬。這是因為，最後會影響阻力大小的是C̃_d的值，而不是ρ、C_d個別的值；例如ρ=0.5、C_d=1和ρ=1、C_d=0.5這兩種設定，得到的C̃_d值是一樣的，既然如此，那直接設定C̃_d就可以了。

接下來，來看看該怎麼設定A的值。一般來說，除非是要呈現不同的A值如何影響阻力的大小，不然可以把A值設定為1。若需要調整阻力大小，改變C̃_d的值就可以了。

經過上述的簡化後，阻力公式會變成

F_d = − v²C̃_d v̂

後續在不至於引起混淆的情況下，為了簡化起見，會將C̃_d上頭的那條蚯蚓省略，還是寫成C_d，而且還是把它叫做「阻力係數」。

根據簡化後的公式，計算阻力的程式可以這樣寫：

if velocity.length() > 0:
    v_hat = velocity.normalize()
    v2 = velocity.magnitude_squared()
    drag_force =  -v2*Cd*v_hat
else:
    drag_force = pygame.Vector2(0, 0)

接下來，就來實作阻力的功能，讓模擬世界中的mover，在穿越特定區域的時候，會像跳進游泳池一樣，感受到一股阻力。

要讓mover在特定區域中會感受到阻力，首先需要把這特定區域給生出來。這個特定的區域，我們假設它是個長方形，這樣會比較好處理。所以，要建造這樣的區域，我們需要知道它的位置、長、寬、阻力係數，同時也要有個方法能把它顯示在畫面上。針對這樣子的需求，我們可以設計一個名叫Liquid的類別如下：

class Liquid:
    def __init__(self, x, y, w, h, Cd):
        # 顯示畫面
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        
        # 液體分布範圍
        self.region = pygame.Rect(x, y, w, h)
        
        # 液體阻力係數
        self.Cd = Cd

    def show(self):
        pygame.draw.rect(self.screen, (175, 175, 175), self.region)

要產生一個Liquid物件，可以這樣寫：

liquid = Liquid(0, 320, 640, 180, 0.1)

這就會是一個讓mover在穿越時，能感受到阻力的區域。

有了Liquid這個類別之後，再來就是要讓mover在穿越Liquid物件時，能感受到來自Liquid物件的阻力。以物件導向的方式來寫的話，程式會長這樣：

if (liquid.contains(mover)):
    drag_force = liquid.calculate_drag(mover)
    mover.apply_force(drag_force)

也就是說，我們需要在Liquid類別中，再加入兩個方法，一個是contains()方法，用來判定mover是不是在liquid中；另一個是calculate_drag()方法，用來計算要施加在mover上的阻力。

先來看看contains()要怎麼寫。

既然liquid物件是由pygame的Rect物件所造出來的，我們可以使用Rect的collidepoint()方法來偵測mover是不是在liquid的長方形區域中。

def contains(self, mover):
    return liquid.region.collidepoint(mover.position.x, mover.position.y)

至於calculate_drag()方法，把先前寫過計算阻力的程式稍微修改一下就可以了：

def calculate_drag(self, mover):
    if mover.velocity.length() > 0:
        v_hat = mover.velocity.normalize()
        v2 = mover.velocity.magnitude_squared()
        return -v2*liquid.Cd*v_hat
    else:
        return pygame.Vector2(0, 0)

下面的例子，就是模擬大大小小的球，從空中掉進液體中的情形。

Example 2.5: Fluid Resistance

class Mover:
    def __init__(self, x, y, mass):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 讓傳遞進來的數值來決定物體的質量
        self.mass = mass  
        
        # 物體的質量越大，尺寸就會越大
        self.size = 16*self.mass
        self.radius = self.size/2
        
        # 讓傳遞進來的數值來決定物體的起始位置
        self.position = pygame.Vector2(x, y)
        
        # 物件的初始速度、初始加速度
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        self.acceleration = pygame.Vector2(0, 0)
        
        # 設定mover所在surface的格式為per-pixel alpha
        self.surface = pygame.Surface((self.size, self.size), pygame.SRCALPHA)                
 
    def apply_force(self, force):
        self.acceleration += force/self.mass
        
    def update(self):
        self.velocity += self.acceleration
        self.position += self.velocity
        self.acceleration *= 0
        
    def show(self):
        # 使用具透明度的白色把mover所在的surface清空
        self.surface.fill((255, 255, 255, 0))
        
        # 畫出具有透明度的mover
        center = pygame.Vector2(self.radius, self.radius)
        pygame.draw.circle(self.surface, (0, 0, 0, 50), center, self.radius)
        
        # 把mover所在的surface貼到最後要顯示的畫面上
        self.screen.blit(self.surface, self.position-center)
        
    def check_edges(self):
        if self.position.x > self.width - self.radius: 
            self.position.x = self.width - self.radius
            self.velocity.x = -self.velocity.x
        elif self.position.x < self.radius:
            self.position.x = self.radius
            self.velocity.x = -self.velocity.x
    
        if self.position.y > self.height - self.radius:
            self.position.y = self.height - self.radius
            self.velocity.y = -self.velocity.y
        elif self.position.y < self.radius:
            self.position.y = self.radius
            self.velocity.y = -self.velocity.y

                        
class Liquid:
    def __init__(self, x, y, w, h, Cd):
        # 顯示畫面
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        
        # 液體分布範圍
        self.region = pygame.Rect(x, y, w, h)
        
        # 液體阻力係數
        self.Cd = Cd

    def show(self):
        pygame.draw.rect(self.screen, (175, 175, 175), self.region)
        
    def contains(self, mover):
        return liquid.region.collidepoint(mover.position.x, mover.position.y)

    def calculate_drag(self, mover):
        if mover.velocity.length() > 0:
            v_hat = mover.velocity.normalize()
            v2 = mover.velocity.magnitude_squared()
            return -v2*liquid.Cd*v_hat
        else:
            return pygame.Vector2(0, 0)


# python version 3.10.9
import random
import sys

import pygame  # version 2.3.0

pygame.init()


pygame.display.set_caption("Example 2.5: Fluid Resistance")

WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

liquid = Liquid(0, HEIGHT/2, WIDTH, HEIGHT/2, 0.1)

movers = [Mover(40+i*70, 0, random.uniform(0.1, 5)) 
          for i in range(9)]

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    liquid.show()
        
    for mover in movers:
        # 如果mover在liquid中，就會感受到來自liquid的阻力
        if liquid.contains(mover):
            drag_force = liquid.calculate_drag(mover)
            mover.apply_force(drag_force)
        
        gravity = pygame.Vector2(0, 0.1*mover.mass)
        mover.apply_force(gravity)
                
        mover.update()
        mover.show()
        mover.check_edges()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)                                                

從模擬的結果可以看出來，越小的球掉得越慢。這是因為阻力的方向是向上，越小的球質量越小，向上的加速度越大，而導致向下掉的速度減少越多。最後的結果就是，越小的球，掉得越慢。

在模擬時，有時當球接觸到液體時，會向上反彈，而不是落入液體中；這種情形通常會發生在阻力係數比較大、球的質量比較小，或球向下掉的速度比較快時。之所以會發生這種在真實世界不存在的現象，是因為模擬時使用的時間步長太大的關係。在真實世界中，當球一接觸液體時，就會開始受到阻力的作用，而讓速度持續減慢；這是一個連續的過程，隨著球的速度不斷變化，阻力的大小也跟著不斷變化，當球速變成0時，阻力也會變成0，所以球不會突然改變運動的方向而向上彈。但在模擬時，在同一個時間步長內，球所感受到的阻力是一個固定的值，所以有可能在進入下一個時間步長時，因為阻力所產生的反向加速度比較大，而改變運動的方向。

那要怎麼做才能讓球不會反彈呢？縮短時間步長是個可行的辦法，不過畢竟有其極限。接下來的練習，就是要在不調整時間步長的前提下，想辦法解決這個問題。

Exercise 2.8

液體的阻力最多只能讓物體的速度變成0，不可能會讓物體反彈。所以，在計算阻力時，應該把阻力限制在不會讓物體的運動方向180度改變的範圍內。因為Mover類別的update()方法中，計算速度的方式是

self.velocity += self.acceleration

所以，能夠讓速度變成0的加速度是

-self.velocity

而由牛頓第二運動定律，產生這個加速度所需的力量大小是

mover.mass*mover.velocity.length()

這就是不會讓物體反彈的液體阻力的最大值。

修改Liquid類別的calculate_drag()方法如下：

def calculate_drag(self, mover):
    if mover.velocity.length() > 0:
        drag_force_limit = mover.mass*mover.velocity.length()
        
        v_hat = mover.velocity.normalize()
        v2 = mover.velocity.magnitude_squared()
        drag_force = -v2*liquid.Cd*v_hat
        drag_force.clamp_magnitude_ip(drag_force_limit)

        return drag_force
    else:
        return pygame.Vector2(0, 0)

修改Example 2.5的程式中用來產生mover的部分，讓9個相同質量的mover從不同高度落下。

movers = [Mover(40+i*70, 15*i, 1.5) for i in range(9)]

從模擬的結果可以看出，從越高的地方落下，接觸液面時的速度會越快，因而受到來自液體的阻力也就越大，速度也就減慢越多。所以，不管從哪個高度落下，在液體中的速度其實都差不多。

Exercise 2.9

這個練習主要是要呈現不同A值對阻力大小的影響，所以A值不能一律設為1，而應以box的底部寬度來取代。因此，阻力公式應改為

F_d = − v² ℓ C_d v̂

其中ℓ是box的底部寬度。

設定讓相同質量、底部寬度不同的數個box，從其底部距離液面相同的高度落下。在液體中，底部寬度越小的box受到的阻力越小，所以下沈的速度越快。

程式如下：

class Box:
    def __init__(self, x, y, w, h):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 物件大小
        self.w, self.h = w, h
        
        # 物件質量
        self.mass = 0.1*self.w*self.h

        # 讓傳遞進來的數值來決定物體的起始位置
        self.position = pygame.Vector2(x, y)
        
        # 物件的初始速度、初始加速度
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        self.acceleration = pygame.Vector2(0, 0)
        
        # 設定box所在surface的格式為per-pixel alpha
        # self.surface = pygame.Surface((self.width, self.height), pygame.SRCALPHA)        
        self.surface = pygame.Surface((self.w, self.h), pygame.SRCALPHA)        
    
    def apply_force(self, force):
        self.acceleration += force/self.mass
        
    def update(self):
        self.velocity += self.acceleration
        self.position += self.velocity
        self.acceleration *= 0
        
    def show(self):
        # 使用具透明度的白色把box所在的surface清空
        self.surface.fill((255, 255, 255, 0))
        
        # 畫出具有透明度的box
        rect = pygame.Rect(0, 0, self.w, self.h)
        pygame.draw.rect(self.surface, (75, 75, 75), rect)
        
        # 把box所在的surface貼到最後要顯示的畫面上
        # self.screen.blit(self.surface, (self.position.x, self.position.y))
        self.screen.blit(self.surface, (self.position.x, self.position.y))
        
    def check_edges(self):
        if self.position.y+self.h > self.height:
            self.position.y = self.height - self.h
            self.velocity.y = -self.velocity.y


class Liquid:
    def __init__(self, x, y, w, h, Cd):
        # 顯示畫面
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        
        # 液體分布範圍
        self.region = pygame.Rect(x, y, w, h)
                
        # 液體阻力係數
        self.Cd = Cd

    def show(self):
        pygame.draw.rect(self.screen, (175, 175, 175), self.region)
        
    def contains(self, box):
        return liquid.region.collidepoint(box.position.x, box.position.y+box.h)

    def calculate_drag(self, box):
        if box.velocity.length() > 0:
            drag_force_limit = box.mass*box.velocity.length()
            
            v_hat = box.velocity.normalize()
            v2 = box.velocity.magnitude_squared()
            # 計算阻力時，把box的底部寬度納入考量
            drag_force = -v2*box.w*liquid.Cd*v_hat
            drag_force.clamp_magnitude_ip(drag_force_limit)

            return drag_force
        else:
            return pygame.Vector2(0, 0)


# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 2.9")

WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

liquid = Liquid(0, HEIGHT/4, WIDTH, HEIGHT/4*3, 0.1)

# 各個box底部到液面的距離相同
boxes = [Box(30+60*i, 50-400/(5+5*i), 10+5*i, 400/(5+5*i)) for i in range(10)]

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    liquid.show()
        
    for box in boxes:
        # 如果box在liquid中，就會感受到來自liquid的阻力
        if liquid.contains(box):
            drag_force = liquid.calculate_drag(box)
            box.apply_force(drag_force)
           
        gravity = pygame.Vector2(0, 0.1*box.mass)
        box.apply_force(gravity)
                
        box.update()
        box.check_edges()
        box.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

Exercise 2.10

升力(lift)的大小，設定成和阻力的大小一樣，但是方向則是向上。所以，計算方式改寫為

lift_force = pygame.Vector2(0, -v2*liquid.Cd)

其中，v2是速度向量大小的平方、liquid.Cd是液體的阻力係數。完整程式如下：

class Airplane:
    def __init__(self, x, y, w, h):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 物件大小
        self.w, self.h = w, h
        
        # 物件質量
        self.mass = 0.01*self.w*self.h

        # 讓傳遞進來的數值來決定物體的起始位置
        self.position = pygame.Vector2(x, y)
        
        # 物件的初始速度、初始加速度
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        self.acceleration = pygame.Vector2(0, 0)
        
        # 設定airplane所在surface的格式為per-pixel alpha
        self.surface = pygame.Surface((self.w, self.h), pygame.SRCALPHA)        
 
    def apply_force(self, force):
        self.acceleration += force/self.mass
        
    def update(self):
        self.velocity += self.acceleration
        self.position += self.velocity
        self.acceleration *= 0
        
    def show(self):
        # 使用具透明度的白色把airplane所在的surface清空
        self.surface.fill((255, 255, 255, 0))
        
        # 畫出具有透明度的airplane
        rect = pygame.Rect(0, 0, self.w, self.h)
        pygame.draw.arc(self.surface, (75, 75, 75), rect, 
                        math.radians(45), math.radians(160), 30)
        
        # 把airplane所在的surface貼到最後要顯示的畫面上
        self.screen.blit(self.surface, (self.position.x, self.position.y))

                
class Liquid:
    def __init__(self, x, y, w, h, Cd):
        # 顯示畫面
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        
        # 液體分布範圍
        self.region = pygame.Rect(x, y, w, h)
                
        # 液體阻力係數
        self.Cd = Cd

    def show(self):
        pygame.draw.rect(self.screen, (175, 175, 175), self.region)
        
    def contains(self, box):
        return liquid.region.collidepoint(box.position.x, box.position.y+box.h)

    def calculate_lift(self, airplane):
        if airplane.velocity.length() > 0:
            v2 = airplane.velocity.magnitude_squared()
            # 升力大小和阻力一樣，但是方向向上
            lift_force = pygame.Vector2(0, -v2*liquid.Cd)

            return lift_force
        else:
            return pygame.Vector2(0, 0)

                
# python version 3.10.9
import math
import sys


import pygame  # version 2.3.0

pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 2.10")

WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

liquid = Liquid(0, 0, 0.75*WIDTH, HEIGHT, 0.1)

airplane = Airplane(WIDTH, 250, 100, 50)
thrust = pygame.Vector2(-0.1*airplane.mass, 0)  # 飛機推力

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    liquid.show()
        
    # 如果airplane在liquid中，就會感受到來自liquid的阻力
    if liquid.contains(airplane):
        lift_force = liquid.calculate_lift(airplane)
        airplane.apply_force(lift_force)
       
    airplane.apply_force(thrust)
           
    airplane.update()
    airplane.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

萬有引力

萬有引力，指的是兩個物體之間，互相吸引的力量。重力也是萬有引力的一種，不過因為地球相對於一般的物體而言非常巨大，所以在我們的經驗中，都只覺得是地球的重力讓鳥屎掉下來，而不覺得鳥屎其實也在發揮它的吸引力，把地球吸向它。

萬有引力的計算公式是

F_g = G m₁ m₂ r̂ / r²

其中，F_g為萬有引力；G為萬有引力常數；m₁、m₂分別為物體1與物體2的質量；r為物體1與物體2之間的距離；r̂為由物體1指向物體2，或由物體2指向物體1的單位向量。

在真實世界中，萬有引力常數的大小是6.67428×10^-11 m³kg^-1s^-2。既然G是個常數，那就跟先前一些公式中的常數一樣，在模擬時，它的真正大小並不是那麼的重要，可以自己設定，只要能得到想要的效果就可以。如果沒有特別的考量，可以把它設定為1，方便處理。

要計算物體1和物體2兩個物體間的萬有引力，需要計算其方向和大小。在寫程式時，比較好的做法是，先計算引力的方向，也就是公式中的r̂，然後再計算引力的大小。要注意的是，物體1作用在物體2上的萬有引力，和物體2作用在物體1上的萬有引力，這兩者的大小相同，而方向剛好相反。接下來就來看看程式要怎麼寫。

假設物體1和物體2的位置向量分別是position1和position2；而質量則分別是mass1和mass2。假設我們要計算物體1作用在物體2上的萬有引力，因為這樣子的引力，會把物體2拉向物體1，所以作用力的方向是從物體2指向物體1。要計算r̂，程式可以這樣寫：

d = position1 - position2
r_hat = d.normalize() if d.length() > 0 else pygame.Vector2(0, 0)

至於計算引力大小的程式，可以這麼寫：

distance = d.magnitude()
strength = G*mass1*mass2/distance**2

所以物體1作用在物體2上的引力會是

force = strength*r_hat

計算萬有引力的程式有了，接下來就來設計一個叫做Attractor的類別，讓透過這個類別所製造出來的物件，能夠具備吸引其他物件靠近的能力。

我們把Attractor類別所製作出來的物件叫做attractor，而且為了不要搞得太複雜，我們設定attractor不會到處跑，只會待在固定的地方。

因為attractor是個固定不動具有引力的物體，所以會有質量、位置、大小、等特性(attribute)，以及能夠在畫面上將其顯示出來的方法；這部分可以參考Mover類別的寫法來設計。除此之外，為了讓attractor能夠吸引其他物體，還必須納入萬有引力常數這個特性，以及設計出能產生引力吸引其他物體的方法。

假設mover是由Mover類別產生的物件，那要怎麼讓mover和attractor能夠溝通而產生引力，使得mover被attractor吸引過去呢？現在就來看看有哪些方法可以達到這個目的。

第一種方法，是使用能傳入attractor和mover的函數，例如

attraction(attractor, mover)

接下來的兩種方法，都是物件導向式的寫法。這兩種不同的寫法，主要的差異，在於是站在attractor或mover的角度來看引力這件事。

「attractor把mover吸引過來」，這是站在attractor的角度來看引力。這種寫法會在Attractor類別中，寫一個能傳入mover來處理引力的方法。假設這個方法叫attract，那attractor吸引mover就可以這樣寫：

attractor.attract(mover)

如果是站在mover的角度來看引力，就會是「mover被吸引向attractor」。這種寫法會在Mover類別中，寫一個能傳入attractor來處理引力的方法。假設這個方法叫attracted_to()，那程式就寫成

mover.attracted_to(attractor)

這兩種物件導向式的寫法並沒有優劣之分，不過都要比第一種單純使用函數的寫法來得好。

除了上述三種寫法外，還有一種寫法，這種寫法是在Attractor類別中，寫一個能傳入mover來計算並傳回引力的方法，然後再把傳回的引力，透過Mover類別中的apply_force()方法，作用在mover上。這種方法寫出來的程式長這樣：

force = attractor.attract(mover)
mover.apply_force(force)

程式中的attract()，就是在Attractor類別中處理引力的方法。原書最後採用這種寫法來處理引力，因為先前在處理不同的作用力時，都是利用apply_force()來施加作用力於物體上，所以為了保持一貫性，就採用了這種寫法。

在開始寫attract()這個方法之前，要先來看一下計算引力時，可能會出現的極端狀況。

計算引力時，可能會有的極端狀況有兩個，一個是兩個物體距離非常遠；另一個是兩個物體距離非常近。

當兩個物體距離非常遠，也就是r非常大時，因為在公式中r位於分母，所以計算出來的引力值會非常小。這也就是說，這兩個物體間的引力，基本上等於是沒有任何作用。就好比地球和一萬光年以外的某顆行星，它們之間的引力，會趨近於0。

如果兩個物體距離非常近，也就是r非常小時，因為r位於分母，所以計算出來的引力值會非常大。在模擬時，這種情況會讓mover在接近attractor到一定程度時，因為引力很大很大而加速到以高速越過attractor。這時候，雖然attractor會把mover往回拉，但因為mover速度非常快，所以attractor一時之間也沒法讓mover慢下來，只能眼睜睜看著mover飛出畫面之外。

如果想要避免這些極端的狀況，要怎麼做呢？其實很簡單，就只需要在計算引力時，把兩個物體之間距離的數值，強迫限制在某一個範圍內就可以了。例如，兩個物體之間的距離算出來是distance，如果想把這數值限制在5～25之間，程式可以這樣寫：

if distance < 5:
    distance = 5
elif distance > 25:
    distance = 25

這樣子，就不會有過於極端的情況發生。不過，到底要不要避免極端的情況發生，純粹是個選擇，沒有對或錯的問題，就看你想要的效果是什麼。

完成後的Attractor類別長這樣：

class Attractor:
    def __init__(self, x, y, mass, G=1):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        self.G = G
        
        self.mass = mass
        
        # 物體的質量越大，尺寸就會越大
        self.size = self.mass
        self.radius = self.size/2
        
        # attractor的位置
        self.x, self.y = x, y
        self.position = pygame.Vector2(x, y)     

        # 設定attractor所在surface的格式為per-pixel alpha
        self.surface = pygame.Surface((self.size, self.size), pygame.SRCALPHA)        
    
    def attract(self, mover):
        # 引力方向
        d = self.position - mover.position
        r_hat = d.normalize() if d.length() > 0 else pygame.Vector2(0, 0)
                
        distance = d.magnitude()
        # 限制距離數值的範圍，避免極端狀況發生
        if distance < 5:
            distance = 5
        elif distance > 25:
            distance = 25
        
        # 引力大小    
        strength = self.G*self.mass*mover.mass/distance**2
        
        # 引力
        force =  strength*r_hat
        
        return force
        
    def show(self):
        # 使用具透明度的白色把attractor所在的surface清空
        self.surface.fill((255, 255, 255, 0))
        
        # 畫出具有透明度的attractor
        center = pygame.Vector2(self.radius, self.radius)
        pygame.draw.circle(self.surface, (0, 0, 0, 150), center, self.radius)
        
        # 把attractor所在的surface貼到最後要顯示的畫面上
        self.screen.blit(self.surface, self.position-center)  

下面這個例子，可以看出模擬的效果。因為Mover類別並未更動，所以程式未列出。

Example 2.6: Attraction

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 2.6: Attraction")

WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

mover = Mover(400, 50, 2) 
# mover有不同的初始速度，會產生不同的效果
mover.velocity.x = 1

attractor = Attractor(WIDTH/2, HEIGHT/2, 40, 0.4)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    attractor.show()
    
    force = attractor.attract(mover)
    mover.apply_force(force)

    mover.update()
    mover.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

在這個例子中，我們設定attractor和mover的半徑大小，是跟它們的質量大小呈正比的關係。這個設定並不怎麼精確，無法反映出真實世界中，物體大小和質量間的關係。因為attractor和mover都是圓，而半徑為r的圓，面積是π r²，所以比較精確的做法，是設定attractor和mover的半徑大小，正比於它們質量的0.5次方，也就是

r ∝ m^0.5

這樣子才能夠比較真實地呈現出，物體的大小和質量間的關係。

Exercise 2.11

分別修改Mover類別和Attractor類別的__init__()方法中，圓的半徑大小的計算方式

# mover大小
self.size = 2*self.mass**0.5
self.radius = self.size/2

# attractor大小
self.size = 2*self.mass**0.5
self.radius = self.size/2

接下來的這個例子，是像Example 2.5的做法一樣，讓畫面上同時有很多個mover，在attractor的引力作用下跑來跑去，主程式如下：

Example 2.7: Attraction with Many Movers

# python version 3.10.9
import random
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 2.7: Attraction with Many Movers")

WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

movers = [Mover(random.randint(0, WIDTH), 
                random.randint(0, HEIGHT), 
                random.uniform(0.1, 2)) 
          for i in range(10)]
# mover有不同的初始速度，會產生不同的效果
for mover in movers:
    mover.velocity = pygame.Vector2(1, 0)

attractor = Attractor(WIDTH/2, HEIGHT/2, 20, 0.4)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    attractor.show()
    
    for mover in movers:
        force = attractor.attract(mover)
        mover.apply_force(force)

        mover.update()
        mover.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

Exercise 2.12

兩個mover加上兩個attractor，就可以畫出挺漂亮的圖案。下面是正在畫的當中先後擷取出來的兩張截圖。

主程式如下：

# python version 3.10.9
import math
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 2.12")

BLACK = (0, 0, 0)
WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 600
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 500
frame_rate = pygame.time.Clock()

movers = [Mover(450, 120, 0.065), Mover(450, 350, 0.065)]
attractors = [Attractor(100, 300, 20, 0.4), Attractor(500, 300, 20, 0.4)]

screen.fill(WHITE)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    for attractor in attractors:
        for mover in movers:
            force = attractor.attract(mover)
            mover.apply_force(force)
    
            mover.update()
   
            # 在mover所在的位置上畫點描繪出運動軌跡
            x, y = mover.position
            screen.set_at((int(x), int(y)), (0, 0, 0))
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS) 

Exercise 2.13

要想距離越大作用力越強；距離越小作用力越小，最簡單的做法，就是把引力公式中在分母的r，改放到分子就可以了。

要讓attractor吸引遠距離的mover，但卻排斥近距離的mover，最簡單的做法，就是當距離小於某個數值時，把作用力反向。要達到這個目的，可以在attract()方法中，於return force之前，加入判斷式，例如

if distance < 15:
    force = -force

這樣，當mover跟attractor之間的距離小於15時，作用在mover上的就會是斥力，而非引力。