The Nature of Code閱讀心得與Python實作：2.4 Creating Forces

在真實世界中有各式各樣的作用力影響著我們，那在模擬世界中呢？要怎麼在本來無一物的模擬世界中，製造出作用力呢？

在真實世界中的作用力，可以透過物理定律的數學式來描述。不過可別誤會，並不是大自然利用數學式子來產生作用力，而是先有作用力，然後人們才找出可以描述這些作用力的數學式子。跟真實世界不同的是，在模擬世界中，本來是沒有什麼東西的，更不用說有什麼作用力存在。在模擬世界中的一切一切，都是我們創造出來的，所以，要想在模擬世界中創造出作用力，我們必須先設計好描述作用力的數學式子，然後利用這些式子來產生作用力。

有兩種方式可以用來設計描述虛擬世界作用力的數學式子，一種是自訂規則，完全依照自己的想法來設計，不管那數學式的長相如何，反正只要能呈現出我們所要的效果就可以。另一種方式，則是中規中矩，套用真實世界中的物理定律公式，而利用這種方式所製造出來的作用力，可以呈現出比較接近真實世界物理現象的效果。在這一節中，我們先來看看第一種方式要怎麼做，下一節再來看第二種方式。

不利用物理定律公式，而依照自己設定的規則來打造作用力，最簡單的方式，就是直接給一個數字。例如，要讓一股由左向右的風，吹在mover這個由Mover類別產生的物件上，程式可以這麼寫：

wind = pygame.Vector2(0.01, 0)
mover.apply_force(wind)

下面這個例子則多了點變化，只有在按下滑鼠左鍵時才有風，而且除了風之外，還加入向下的重力。

Example 2.1: Forces

class Mover:
    def __init__(self):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 物件的質量
        self.mass = 1
        
        # 物件的起始位置、初始速度、初始加速度
        self.position = pygame.Vector2(30, 30)
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        self.acceleration = pygame.Vector2(0, 0)
 
    def apply_force(self, force):
        self.acceleration += force/self.mass
        
    def update(self):
        self.velocity += self.acceleration
        self.position += self.velocity
        self.acceleration *= 0
        
    def show(self):
        pygame.draw.circle(self.screen, (0, 0, 0), self.position, 24)
     
    def check_edges(self):
        if self.position.x > self.width:
            self.position.x = self.width
            self.velocity.x = -self.velocity.x
        elif self.position.x < 0:
            self.position.x = 0
            self.velocity.x = -self.velocity.x
    
        if self.position.y > self.height:
            self.position.y = self.height
            self.velocity.y = -self.velocity.y


# python version 3.10.9
import sys
 
import pygame  # version 2.3.0 


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 2.1: Forces")

WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = WIDTH, HEIGHT = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

# 方向向下的重力
gravity = pygame.Vector2(0, 0.1)

# 由左向右吹的風
wind = pygame.Vector2(0.1, 0)

mover = Mover()

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    
    
    # 施加重力
    mover.apply_force(gravity)
    
    # 按下滑鼠左鍵時才有風
    if pygame.mouse.get_pressed()[0]:
        mover.apply_force(wind)
    
    mover.update()
    mover.check_edges()
    mover.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

這個例子有點單調，因為就只有一個形單影隻的mover而已。接下來，就來讓這個模擬世界熱鬧一些，讓許多大小不一有胖有瘦的mover，一起加入這個模擬世界。

要能夠很容易又快速地製造出許多胖瘦不一的mover，就不能把Mover類別裡頭的質量這個變數寫死，而要改成由參數傳遞數值來設定。另外，mover生出來的位置，也可以用這樣子的方式來設定，這樣就可以很容易地讓mover從不同的地方冒出來。修改後的Mover類別如下：

class Mover:
    def __init__(self, x, y, mass):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 讓傳遞進來的數值來決定物體的質量
        self.mass = mass  
        
        # 物體的質量越大，尺寸就會越大
        self.size = 16*self.mass
        
        # 讓傳遞進來的數值來決定物體的起始位置
        self.position = pygame.Vector2(x, y)
        
        # 物件的初始速度、初始加速度
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        self.acceleration = pygame.Vector2(0, 0)
        
        # 設定mover所在surface的格式為per-pixel alpha
        self.surface = pygame.Surface((self.size, self.size), pygame.SRCALPHA)                
 
    def apply_force(self, force):
        self.acceleration += force/self.mass
        
    def update(self):
        self.velocity += self.acceleration
        self.position += self.velocity
        self.acceleration *= 0
        
    def show(self):
        # 使用具透明度的白色把mover所在的surface清空
        self.surface.fill((255, 255, 255, 0))
        
        # 畫出具有透明度的mover
        radius = self.size/2
        center = pygame.Vector2(radius, radius)
        pygame.draw.circle(self.surface, (0, 0, 0, 50), center, radius)
        
        # 把mover所在的surface貼到最後要顯示的畫面上
        self.screen.blit(self.surface, self.position-center)
        
    def check_edges(self):
        if self.position.x > self.width:
            self.position.x = self.width
            self.velocity.x = -self.velocity.x
        elif self.position.x < 0:
            self.position.x = 0
            self.velocity.x = -self.velocity.x
    
        if self.position.y > self.height:
            self.position.y = self.height
            self.velocity.y = -self.velocity.y

當要製造一個質量10，起始位置為(20, 30)的mover時，程式就可以這樣寫：

mover = Mover(20, 30, 10)

依樣畫葫蘆，我們就可以製造出許多大小不一，散佈在畫面上的mover。下面這個例子，就是用這樣子的方式造出一大一小兩個受重力和風力影響的mover。

Example 2.2: Forces Acting on Two Objects

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 2.2: Forces Acting on Two Objects")

WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

# 方向向下的重力
gravity = pygame.Vector2(0, 0.1)

# 由左向右吹的風
wind = pygame.Vector2(0.1, 0)

moverA = Mover(200, 30, 5)
moverB = Mover(500, 30, 2)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    # 施加重力
    moverA.apply_force(gravity)
    moverB.apply_force(gravity)
    
    # 按下滑鼠左鍵時才有風
    if pygame.mouse.get_pressed()[0]:
        moverA.apply_force(wind)
        moverB.apply_force(wind)
        
    moverA.check_edges()
    moverA.update()
    moverA.show()
        
    moverB.check_edges()
    moverB.update()
    moverB.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

這個例子的寫法，是分別針對moverA和moverB來處理，所以控制mover的程式碼都寫了兩次。這樣子的寫法，當mover的數量一多時，就會變得非常繁雜無效率。比較好的做法是用list或array來處理，這會在後續的內容中介紹。

Exercise 2.3

物體越靠近邊緣，反推的力量越大，這股看不到的作用力大小，可以這樣子設定：

上方邊緣反推力 = 1 - 物體距上方邊緣的距離 / 畫面高度

下方邊緣反推力 = 1 - 物體距下方邊緣的距離 / 畫面高度

左側邊緣反推力 = 1 - 物體距左側邊緣的距離 / 畫面寬度

右側邊緣反推力 = 1 - 物體距右側邊緣的距離 / 畫面寬度

在Mover這個類別新增一個distances_to_edges()方法，用來計算物體距視窗4個邊緣的距離：

def distances_to_edges(self):
    distances = {}
    distances["top"] = self.position.y
    distances["bottom"] = self.height - self.position.y
    distances["left"] = self.position.x
    distances["right"] = self.width - self.position.x

利用上述設定反推力大小的公式，並考慮反推力的方向，即可算出4個邊緣作用在物體上的反推力。主程式如下：

# python version 3.10.9
import random
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 2.3")

WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = WIDTH, HEIGHT = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

# x、y方向的單位向量
vec_x = pygame.Vector2(1, 0)
vec_y = pygame.Vector2(0, 1)

push_back_force = {}

mover = Mover(random.uniform(0, WIDTH), random.uniform(0, HEIGHT), 2) 

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    distances = mover.distances_to_edges()
    
    # 計算4個邊緣作用在mover上的反推力大小
    push_back_force["top"] = (1-distances["top"]/HEIGHT)*vec_y
    push_back_force["bottom"] = -(1-distances["bottom"]/HEIGHT)*vec_y
    push_back_force["left"] = (1-distances["left"]/WIDTH)*vec_x
    push_back_force["right"] = -(1-distances["right"]/WIDTH)*vec_x
    
    # 將反推力作用在mover上
    for f in push_back_force:
        mover.apply_force(push_back_force[f])
            
    mover.update()
    mover.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

Exercise 2.4

修改check_edges()即可。假設圓的半徑是radius

def check_edges(self):
    if self.position.x > self.width - self.radius: 
        self.position.x = self.width - self.radius
        self.velocity.x = -self.velocity.x
    elif self.position.x < self.radius:
        self.position.x = self.radius
        self.velocity.x = -self.velocity.x

    if self.position.y > self.height - self.radius:
        self.position.y = self.height - self.radius
        self.velocity.y = -self.velocity.y
    elif self.position.y < self.radius:
        self.position.y = self.radius
        self.velocity.y = -self.velocity.y

Exercise 2.5

從滑鼠到mover位置的單位向量，就是風力的方向。算出風力的單位向量之後，就可以縮放成實際的風力大小。

wind = mover.position - pygame.Vector2(pygame.mouse.get_pos())
if wind.length() > 0:
    wind.scale_to_length(0.3)

執行Example 2.2時應該會發現，當力量作用時，小的那一個球反應會明顯比大的那一個快。之所以會如此，是因為在apply_force()這個方法中，計算加速度時，是用力量除以質量，所以質量越大的物體，算出來的加速度就會越小，因而速度的改變就越慢。對於風力而言，這樣子的結果挺合理的，質量越大的物體，當然越難推動；但是對於重力而言，就不是這麼回事了。

眾所周知，當不同質量的兩個物體從相同高度同時往下掉時，它們到達地面的時間是一樣的；這也就是說，它們往下掉的速度是一樣的。所以，照道理Example 2.2中的兩個球，它們往下掉的速度應該都一樣才對；可是畫面顯示出來的，顯然不是這樣。那問題出在哪裡呢？

我們在模擬的時候，是設定作用力，然後把作用力作用在物體上，進而算出加速度。所以，在相同的作用力下，根據牛頓第二運動定律，質量越大的物體加速度會越小。但是真實世界的實際狀況是，質量越大的物體，受到的重力作用會越大，而不是如我們程式所設定的，所有物體感受到的重力都一樣大。就因為這樣子的差異，所以造成模擬的結果跟實際狀況不一樣。

既然質量越大的物體受到的重力作用會越大，那在模擬時，該怎麼設定重力的大小呢？其實重力有個特性，那就是不同質量的物體在重力的作用下，都會有相同的加速度，這個相同的加速度，就是大家熟知的重力加速度。當然啦，這個結果是有許多假設前提的，不過一般的使用上，這些假設都不會導致什麼太大的差異，所以可以放心的使用。

知道不同質量的物體在重力的作用下，都會有相同的加速度這個特性後，重力大小的設定問題就水到渠成了。既然不管質量大小，重力加速度的值都一樣，那根據牛頓第二運動定律，作用在物體上的重力除以物體的質量所得到的值，一定會是個常數。所以，只要把要作用在物體上的作用力，給他乘上物體的質量，這樣當我們呼叫apply_force()計算加速度時，就會把物體的質量給消掉，讓它沒辦法作怪。

程式需修改的地方不多，就只需讓作用在mover上的重力，是gravity乘上mover的質量就可以了。

Example 2.3: Gravity Scaled by Mass

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 2.3: Gravity Scaled by Mass")

WHITE = (255, 255, 255)

screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

# 方向向下的重力
gravity = pygame.Vector2(0, 0.1)

# 由左向右吹的風
wind = pygame.Vector2(0.1, 0)

moverA = Mover(200, 30, 5)
moverB = Mover(500, 30, 2)

# 修正作用在mover上的重力
gravityA = gravity*moverA.mass
gravityB = gravity*moverB.mass

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    # 施加重力
    moverA.apply_force(gravityA)
    moverB.apply_force(gravityB)
    
    # 按下滑鼠左鍵時才有風
    if pygame.mouse.get_pressed()[0]:
        moverA.apply_force(wind)
        moverB.apply_force(wind)
        
    moverA.check_edges()
    moverA.update()
    moverA.show()
        
    moverB.check_edges()
    moverB.update()
    moverB.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

修改過後，大、小兩個球向下掉的速度都已經變成一樣了。不過，比較小的球橫向移動的速度仍然會比較快，這是因為我們並沒有去改wind，所以作用在大、小兩個球上的風力都一樣大，質量比較小的球自然跑得比較快。

其實原書這個例子的寫法很容易讓人混淆，因為在真實世界中，這樣的重力作用方式，根本就不存在。在真實世界中，物體感受到的重力，也就是其重量，等於其質量乘上重力加速度，而且重力加速度是定值。既然作用在moverA和moverB上的重力同樣都是gravity，而且重力加速度都一樣，那moverA和moverB一定會有相同的質量；這個結論和程式中moverA和moverB有不同質量的設定，是矛盾的。所以，以真實世界的重力作用方式來看，程式中的gravity，其實是重力加速度；而gravityA和gravityB，才是作用在moverA和moverB上的重力。

雖然這個例子的設定方式並未遵守真實世界的物理定律，但畢竟模擬世界是我們所創造的，我們愛怎麼設定就怎麼設定，那本來就是個可以不遵守真實世界物理定律的地方。不過，話又說回來，既然要讓模擬世界呈現出真實世界中的物理現象，那套用真實世界物理定律的公式，應該會是比較好的做法。