大學微積分題講-反雙曲函數的微分

對於反雙曲函數的微分推導，方法並不僅僅侷限於一種方法，我們既可以先定義反雙曲函數的形式再進行微分。亦可以由反函數的微分方式來做微分。

如此，我們就定義了arcsinh(x)的自然對數表達式。

現在，我們可以很輕鬆地進行微分的動作，所以arcsinh(x)的導數結果如下所示:

微分括號內的式子：

帶回原式:

分子通分:

整個式子變為:

所以最終結果就是:

好，過程可能有點繁瑣，但其實一步一步慢慢做下來，也並不會太艱澀難懂。

這邊再示範arctanh(x)的自然對數形式定義與微分過程:

最後，提供讀者arcsech(x)的自然對數形式定義，微分的推導就請讀者自行練習吧。

另外，剩餘的反雙曲函數的對數形式皆透過類似的方法求得，這邊就不繼續寫下去了，讀者也不必去背。

接下來，我想以反雙曲餘弦函數為例子，示範直接利用反函數的定義推導其導數，以下示範:

首先，先觀察雙曲餘弦函數的大致示意圖形:

利用水平線測試法，發現不是一對一，我們透過限制其定義域(Domain)，讓其變為一對一函數，由於這些受限函數現在是一對一的，因此它們具有反函數:

現在函數 cosh⁡(x)的值域(Range)是：

所以它的反函數 arccosh⁡(x)定義域(Domain)是 x≥1。

好，現在設定:

使用反函數的微分定理，過程如下:

所以最後:

注意，在結果中，為了讓導中分母的根號存在，我們進一步要求 x>1。

最後的最後，下面提供反雙曲函數微分的公式整理表:

以上就是反雙曲函數的微分講解，希望對讀者有幫助。

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