AI時代系列(3) 機器學習三部曲: 📘 第三部：《強化學習 —— AI 的決策與進化》
18/100 第二週：📌 策略與動態規劃
18.策略提升定理與貝爾曼方程 📚 強化學習的理論支柱!
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🎯 單元導讀：
在強化學習的世界裡，如何讓策略不斷變好 是核心課題之一。這一單元聚焦兩個基石理論：
• 貝爾曼方程（Bellman Equation）：提供價值的遞迴計算方式
• 策略提升定理（Policy Improvement Theorem）：保證你走在變強的道路上！
只要結合這兩大理論，就能透過「策略疊代」持續精進，最終收斂到最優策略！
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📘 一、貝爾曼方程是什麼？
1️⃣ 策略價值貝爾曼方程（對任意策略 π）：
Vπ(s) = Σ_a π(a | s) Σ_s' [ P(s' | s, a) * ( R(s, a, s') + γ * Vπ(s') ) ]
解讀：
• 從狀態 s 出發，依據策略 π 執行動作 a
• 根據轉移機率 P(s' | s, a) 到達新狀態 s'，獲得獎勵 R(s, a, s')
• 考慮未來的價值 Vπ(s')，其中折扣因子 γ 調整未來回報的重要性
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👉 這就是策略評估的核心公式。
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2️⃣ 最優價值貝爾曼方程（對最優策略 π*）：
最優價值貝爾曼方程（Bellman Optimality Equation）：
V*(s) = max_a Σ_s' [ P(s' | s, a) * ( R(s, a, s') + γ * V*(s') ) ]
解讀：
在狀態 s 中，考慮所有可能的行動 a；
對每個行動 a，計算它的期望報酬：
先乘上轉移機率 P(s' | s, a)，
獲得的即時獎勵 R(s, a, s')，
加上折扣後未來狀態的價值 γ * V*(s')；
最後，從所有行動中選擇期望報酬最大的那個行動（max_a），作為該狀態的最優價值 V*(s)。
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🔍 二、策略提升定理（Policy Improvement Theorem）
這是強化學習最迷人的「保證之一」：
只要你的新策略 π' 的每個動作在每個狀態的價值不低於 π，你就一定至少不會變差，甚至會更好！
形式上說，如果：
Qπ(s, π'(s)) ≥ Vπ(s) 對所有 s
則有：
Vπ'(s) ≥ Vπ(s)
👉 這其實就是 策略改善定理（Policy Improvement Theorem） 的核心精神：
只要新策略在每個狀態下的行動 Q 值不比原來的策略 V 值差，整體策略價值就會提升或持平。
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🔁 三、策略疊代（Policy Iteration）
這是一個實際操作這兩個理論的流程：
1️⃣ 策略評估 根據當前策略 π 計算 Vπ(s)（使用貝爾曼方程）
2️⃣ 策略提升 使用 Q 值改進策略：π(s) ← argmaxₐ Qπ(s,a)（應用策略提升定理）
3️⃣ 重複上述步驟直到策略不再改變，即為 π*
✅ 保證有限狀態與動作下會收斂！
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📈 四、貝爾曼方程、Q值與提升的關係圖
[Vπ(s)] => 評估價值
↓
[Qπ(s,a)] => 考慮動作帶來的後果
↓
argmaxₐ Qπ(s,a) => 提升策略
↓
[新策略 π'] => 若變好，重複疊代
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🧠 五、強化學習的本質：評估 + 改進 = 最佳決策
強化學習不只是模仿，而是：
• 理解目前策略的好壞（評估）
• 調整策略朝向更好（改善）
• 重複這個過程（疊代）直到收斂
這正是 AI「自學會進化」的關鍵！
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🧩 六、思考挑戰與任務
1️⃣ 你能不能設計一個簡單的「走迷宮」任務，用策略疊代找出最快的逃脫路線？
假設你設計一個 5x5 的迷宮，起點在左上角，出口在右下角。你可以先隨機設一個初始策略（例如隨機往上下左右移動），接著用策略疊代反覆進行：先用當前策略模擬多次，計算每個格子 V 值，再根據 V 值更新每個格子的行動選擇（往期望價值高的方向移動）。不斷迭代後，最終會收斂出一條最短的逃脫路線，這就是策略疊代的實際應用範例。
2️⃣ 想像一下在人生規劃中，如果你能評估每個選擇（如讀書、工作、創業）的未來價值，你會如何疊代出最優人生策略？
在現實人生中，我們面臨許多選擇：升學、就業、轉職、創業等。若你能為每個選項估計出可能的長期回報（V 值），例如未來收入、人脈累積、生活品質等，你可以依據目前策略先模擬出 V 值，然後檢討哪些決策可以帶來更好的未來價值，逐步修正策略。透過這樣的「人生策略疊代」，你就能持續優化自己的人生決策路徑，讓整體長期回報最大化。
3️⃣ 為什麼現實中不能總是用策略疊代？是不是因為轉移機率與獎勵不明？
正是如此。在理論中，策略疊代需要完整已知的轉移機率 P(s'|s,a) 與即時獎勵 R(s,a,s')。但在現實世界，大部分的系統都缺乏完整模型：未來充滿不確定性，回報常常難以量化，行動結果也難以準確預測。因此，現實中我們往往無法直接使用完整的策略疊代，只能透過經驗互動、試探學習，這也是強化學習 (RL) 比動態規劃 (DP) 更適合現實應用的原因。
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✅ 七、小結與啟示
• 貝爾曼方程讓我們「數學化地」計算價值與選擇
• 策略提升定理保證我們每次改進都有進步空間
• 策略疊代 = 評估 + 改進 + 重複，直到達到最優策略
• 在強化學習中，這些都是讓 AI 變強的「升級法則」
