凱利槓桿（Kelly Criterion）：用數學決定你該下多大一筆

在投資與交易世界裡，多數人最常問的不是「要不要做」，而是「要做多大」。

部位太小，績效無感；部位太大，一次回檔就可能讓帳戶重傷。是否存在一種方法，能在風險與報酬之間找到長期最優解？這正是「凱利槓桿（Kelly Criterion）」試圖回答的問題。

一、 凱利在算什麼？為什麼它對投資者至關重要？

一般投資人常用「算術平均」思考報酬，但實際帳戶成長是**「複利」**結構。凱利準則的特色在於，它不是最大化單筆交易的期望值，而是最大化「長期複利成長率」。

簡單來說，資金配置存在兩個極端：

• 押太少： 你擁有優勢卻沒有充分利用，資產成長過於緩慢。
• 押太多： 雖然單筆期望值高，但波動過大（Variance），長期反而容易因大幅回撤（Drawdown）而輸掉比賽，甚至面臨破產風險。

凱利提供的是一個理論上的「最適下注比例」。 這也是為什麼凱利常被稱為「長期最優策略」，但同時也被認為是「短期極度痛苦」的來源。

二、 最基本的凱利公式：初學者必備的計算準則

在最簡化的二元情境（只有贏或輸）下，凱利比例（f*）的公式如下：

f^∗=(bp−q)/b

• f^∗：應下注的資金比例
• b：賠率（淨獲利 / 虧損金額）
• p：勝率
• q：失敗率（即 1−p）

💡 實戰舉例：

假設你有一套交易策略，勝率是 55%，每次盈虧比為 1：1。

• 勝率 p=0.55p=0.55
• 失敗率 q=0.45q=0.45
• 賠率 b=1b=1

計算結果： 

(1×0.55−0.45)÷1=0.1

這代表：理論上，每一筆交易投入總資金的 10%，可以讓你的長期複利成長率最大化。

⚠️ 注意： 這並非指 10% 絕對安全，而是指在「無限次重複」且「參數完全正確」的前提下，這是數學上的最優解。

三、 為什麼專業投資人很少用「全凱利」？

既然 10% 是最優解，為什麼不直接照做？原因很簡單：現實世界的參數（勝率與報酬率）是動態且難以精準估計的。

只要你的勝率估錯一點點（例如實際只有 51% 而非 55%），全凱利就會從「最優策略」瞬間變成「過度槓桿」。因此，實務上專業交易者更傾向使用：

• 半凱利（1/2 Kelly）
• 四分之一凱利（1/4 Kelly）

以剛剛 10% 的凱利值為例：

• 半凱利： 只投入 5%
• 1/4 凱利： 只投入 2.5%

採納「打折凱利」的好處：

雖然長期成長率會略為下降，但帳戶的波動率、最大回撤（MDD）以及投資人的心理壓力都會大幅降低。這對真實世界的交易者來說，才是能否存活下去的關鍵。

四、 從交易角度看凱利：並非鼓勵無限開槓桿

在連續報酬的交易模型中，凱利公式可以被簡化為另一種直觀形式：

凱利槓桿 ≈≈ 期望報酬 ÷ 報酬變異數

這解釋了為什麼某些「高勝率、低波動」的策略，在理論上會推導出極高的槓桿倍數。但這正是風險所在：市場報酬並非完美的常態分布。

「尾端風險（Tail Risk）」、「黑天鵝事件」與「流動性衝擊」，往往會讓理論模型瞬間失效。因此，凱利的真正用途不是告訴你可以開多大，而是：在給定優勢下，超過凱利值的槓桿一定會傷害長期績效。

這個槓桿公式 f=μ/σ²

 (槓桿 ≈≈期望報酬 ÷ 變異數）其實是在說：

• 分子（期望報酬 μ）： 就像是你車子的引擎有多強。引擎越強（預期賺越多），你當然可以開越快。
• 分母（報酬變異數 σ²）： 就像是路面的顛簸程度或是車身的晃動幅度。

公式的邏輯是：

如果路面非常平穩（變異數小），你可以踩重油門；但如果路面非常顛簸、車子晃得很厲害（變異數大），就算引擎再強，你也要鬆開油門，否則車子會翻覆。

為什麼分母要「平方」？（變異數的重要性）

這是最關鍵的一點。在數學上，風險對財富的傷害不是線性的，而是「平方級」的。

這就是所謂的「波動折損」（Volatility Drag）。

舉個例子：

• 如果你的帳戶虧損 10%，你需要賺 11% 才能回本。
• 如果你的帳戶虧損 50%，你需要賺 100% 才能回本。

當波動（變異數）變大時，你回本的難度是呈「指數級」上升的。凱利公式之所以把變異數放在分母，就是在警告你：當市場變得很亂（波動率變高）時，你必須大幅度地降低槓桿，降幅要比你想像中快得多。

舉個實際的例子

假設有兩個投資標的：

標的 A（穩健型）： 預期年報酬 10%，波動率（標準差） 20%。

• • 計算：10%÷(20%)²=0.1÷0.04=2.5 倍槓桿。

標的 B（大起大落型）： 預期年報酬 20%（報酬是 A 的兩倍！），但波動率 50%。

• • 計算：20%÷(50%)²=0.2÷0.25=0.8 倍槓桿（連現貨都不能買滿）。

雖然標的 B 賺錢的能力（期望報酬）是 A 的兩倍，但因為它的波動太劇烈，凱利公式會告訴你：「為了不讓帳戶死掉，你投在 B 的錢必須比 A 少很多。」

4. 這個公式給交易者的啟示

「槓桿 ≈期望報酬 ÷ 變異數」時，要記住三句話：

1. 別只看賺多少： 期望報酬再高，只要波動（變異數）太大，你的部位就必須縮小。
2. 波動是槓桿的殺手： 當市場開始大幅震盪時，縮減部位是「數學上的必然」，不是膽小。
3. 高槓桿的先決條件： 只有在「高勝率」且「極度低波動」的環境下（例如某些套利機會），數學才允許你開高槓桿。

五、 實務使用凱利的「五大正確知識」

對一般投資者而言，凱利應該是用來「校正部位」的工具，而非盲目套用的聖經：

1. 確認優勢： 先確認策略是否真的具備正期望值（需透過足夠樣本數的回測）。
2. 保守估計： 對勝率與盈虧比採取更保守的參數預估，以防過度樂觀。
3. 打折使用： 計算出理論值後，主動打折（如 1/4 凱利），保留容錯空間。
4. 設定上限： 即使數學算出來很大，也要設定個人能承受的最大槓桿與回撤上限。
5. 定期檢視： 市場環境會變，勝率與波動度也會變，必須定期重新估計參數。

凱利不是神兵利器，而是風控守則

凱利槓桿常被誤解為「讓你賺最快的方法」，但更精確的說法是：它是一種避免你在擁有優勢時，因過度貪婪而最終輸掉整個帳戶的數學框架。

對初學者而言，理解凱利的精神（最大化長期幾何增長、避免過度下注）比精準算出那個數字更重要。真正能穩定存活在市場的人，往往不是因為押得最大，而是因為他們懂得—什麼時候該少押一點。