📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
📘 第 4周 📈⚡ 訊號煉金術：DSP 與自適應濾波
——通訊基頻處理的核心引擎
37／150單元： NLMS/RLS 🎚️ 更快的自適應方法
（LMS 的超進化版：更快 × 更穩 × 更適合 5G/6G × NTN）
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🎯 單元導讀
LMS 是自適應濾波的入門經典，但它也有兩個硬傷：
1. 收斂太慢（尤其輸入功率大/變動大時）
2. 步階 μ 很難選（一不小心就發散）
在快速變動的通訊場景裡──例如：
• 高速鐵路
• mmWave beam-tracking
• LEO/NTN Doppler 補償（高速 7.5 km/s）
• 時變多路徑通道
LMS 通常來不及追。
因此工程界開發出兩種更強版本：
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⭐（1）NLMS：Normalized LMS
⭐（2）RLS：Recursive Least Squares
它們的地位就像是：
• LMS：機車
• NLMS：汽車
• RLS：戰鬥機
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🧠 一、NLMS（Normalized LMS）— 穩定 × 快速 × 最常用
LMS 的更新式：
w(n+1) = w(n) + μ · e(n) · x(n)
問題在於：
如果 x(n) 功率大 → 更新幅度暴衝 → 容易發散。
NLMS 直接「自動調整步階」，避免發散：
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⭐ NLMS 更新公式
w(n+1) = w(n) + [ μ / ( ||x(n)||² + ε ) ] · e(n) · x(n)
其中：
• μ 仍是步階，但不再敏感
• x(n) 的能量會讓大訊號「被正規化」
• ε 避免除零
📌 NLMS 的三大優勢
✔ 不容易發散
✔ 收斂速度比 LMS 快 2–5 倍
✔ 特別適合 OFDM、MIMO、Channel Estimation
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⭐ NLMS 在通訊中的關鍵用途
✔ 1. OFDM Channel Estimation（LMMSE 的低成本替代）
Pilot-based + NLMS
可以追蹤時變通道（尤其 Doppler 下）。
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✔ 2. LMS Equalizer → NLMS Equalizer（更穩）
用於：
• DFE
• MIMO detection 前置濾波
• Beam-tracking（RIS/UE 端）
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✔ 3. LEO/NTN Doppler Tracking（極重要）
LEO 下行 Doppler 可達 30–40 kHz
NLMS 可以做 Carrier tracking：
h_est ← h_est + μ_norm * e * pilot*
→ 能即時追蹤快速變動的通道。
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🧠 二、RLS（Recursive Least Squares）— 自適應濾波之王
NLMS 再怎麼強，也不可能贏 RLS。
⭐ RLS 的精神：
每次更新時，考慮「所有過去資料」
而不是像 LMS/NLMS 只看單一樣本。
因此：
• 收斂速度超快（通常 10× 以上）
• 誤差極低
• 適合 MIMO、OTA beamforming、高速通道追蹤
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⭐ RLS 更新公式（精簡直觀版）
w(n+1) = w(n) + k(n) · e(n)
👉 用「當前誤差」乘上「最佳增益方向」，一次性修正濾波器係數，讓輸出快速貼近期望值。
其中 gain：
k(n) = [ P(n−1) · x(n) ] / [ λ + xᵀ(n) · P(n−1) · x(n) ]
👉 根據輸入訊號在統計意義上的「可信度」，自動決定這一筆資料該修正係數多少、往哪個方向修。
協方差更新：
P(n) = (1 / λ) · [ P(n−1) − k(n) · xᵀ(n) · P(n−1) ]
👉 持續更新對輸入資料不確定度的估計，並透過遺忘因子讓系統能快速追蹤時變通道。
變數：
• λ（forgetting factor）≈ 0.99
→ 越小越快追蹤變動
• P（逆相關矩陣）負責調整更新方向
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⭐ RLS 的三大超能力
✔ (1) 收斂速度 = 所有自適應演算法最快
甚至比 NLMS 快 5–10 倍。
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✔ (2) 追蹤快速時變通道
高速列車、mmWave beam tracking、LEO/NTN 都靠它。
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✔ (3) 最接近最佳濾波器（Wiener Solution）
在不知道通道的情況下，能逼近：
wopt=R−1pw_{opt} = R^{-1}pwopt=R−1p
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🛰️ 三、RLS 在 5G/6G/NTN 的重要地位
✔ 1. LEO + mmWave → Doppler 超大
RLS 是唯一能在 1 ms 內收斂的算法。
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✔ 2. Massive MIMO 頻繁更新需要高速適應
RLS 可用於：
• MIMO precoder tracking
• DFE
• Beam-domain equalizer
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✔ 3. O-RAN AI-RIC 裡的在線學習
RLS 作為 online learning 的核心元素
（比 SGD/LMS 快太多）
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🧠 四、NLMS vs RLS vs LMS（工程師必考表）
🔹 LMS（Least Mean Squares）
收斂速度： 慢（逐步修正，需較多樣本）
穩定性： 中等（對步階 μ 與輸入功率敏感）
時變通道適應性： 普通（變化快時容易跟不上）
運算量： 最低（乘加運算，硬體友善）
典型應用： 低功耗裝置、簡單等化、基礎 ANC
🔹 NLMS（Normalized LMS）
收斂速度： 中快（步階自動正規化）
穩定性： 高（不易因輸入功率變化而發散）
時變通道適應性： 很適合（5G/6G 常用）
運算量： 低～中（比 LMS 多一次能量計算）
典型應用： 通道估測、OFDM 等化、行動通訊
🔹 RLS（Recursive Least Squares）
收斂速度： 非常快（幾個樣本即可收斂）
穩定性： 很高（統計最小平方解）
時變通道適應性： 最佳（可快速追蹤劇烈變化）
運算量： 高（矩陣運算、記憶體需求大）
典型應用： 高速移動、LEO/NTN、精密等化
一句話：
• LMS：便宜但慢
• NLMS：平價性能比極高（工程界最常用）
• RLS：想快＋準＝用它
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🧩 五、電信工程師模擬題
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1️⃣ 專業題
NLMS 與 LMS 最大差異是什麼？
✔ 答案：
NLMS 根據輸入功率正規化更新量，因此 μ 不再受限於信號能量，穩定性更好。
解析：
LMS 使用固定步階 μ，當輸入功率變大時容易造成係數更新過大而發散；NLMS 透過除以輸入向量能量，使實際更新步幅自動隨輸入功率調整，因此在不同信號強度下都能維持穩定收斂。
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2️⃣ 應用題
哪種演算法最適合高速 Doppler（如 LEO 衛星）？
A. LMS
B. NLMS
C. RLS
D. Moving Average
✔ 正確答案：C（RLS）
解析：
高速 Doppler 代表通道係數變化極快，必須在極少樣本內完成係數更新。RLS 利用完整的輸入統計資訊進行最小平方估計，收斂速度最快、追蹤能力最強，因此最適合 LEO/NTN 這類高速時變通道。
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3️⃣ 情境題
若輸入信號功率變化劇烈，哪個方法最穩定？
✔ 正確答案：NLMS
解析：
當輸入功率大幅起伏時，LMS 的固定步階會導致更新量不穩定；NLMS 會以輸入能量進行正規化，使等效步階自動縮放，避免因信號能量變化而造成發散，因此穩定性最佳。
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🛠 六、實務演練
1️⃣ 實作 NLMS Equalizer for OFDM
2️⃣ Pilot-based NLMS Channel Tracker（含 Doppler）
3️⃣ RLS-based DFE for QAM-64
4️⃣ RLS vs NLMS 收斂速度比較
5️⃣ 在 LEO Doppler Channel 模擬中比較 three methods 的 outage rate
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✅ 七、小結與啟示
✔ NLMS = 不發散的 LMS、適合通訊通道追蹤
✔ RLS = 收斂極快、適合高速時變（mmWave/LEO）
✔ 兩者都是 5G/6G/NTN DSP 的核心工具
✔ LMS 是基礎，但現代通訊幾乎都用 NLMS/RLS
✔ 若你只能選一個 → NLMS
✔ 若你要極速追蹤 → RLS
一句話：
⭐ NLMS = 穩定界王
⭐ RLS = 速度界王
