📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
📘 第 4周 📈⚡ 訊號煉金術：DSP 與自適應濾波
——通訊基頻處理的核心引擎
36／150單元： LMS 適應性濾波 🎛 可自學的濾波器
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🎯 單元導讀
一般 FIR 濾波器需要：
• 事先設計好係數（h[n]）
• 依據頻率需求固定不變
但無線通訊世界太多「不固定」的東西：
• 通道會變
• 雜訊會變
• 多路徑會變
• Doppler 會變（尤其 NTN/LEO）
• 環境每天都變
所以光靠固定濾波器是不夠的。
⭐ 我們需要一種「會自己學的濾波器」
能在訊號進來時，一邊處理、一邊更新係數。
這就是：
⭐ LMS（Least Mean Squares）自適應濾波器
簡單說：
LMS = 一個邊處理、邊學習的 FIR 濾波器
它不需要預先知道通道，只要有誤差，就能自己調整係數。
它是通訊工程、語音處理、回音抑制、通道追蹤的神兵。
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🧠 一、LMS 濾波器到底是什麼？
LMS 是「根據誤差調整濾波器係數」的演算法。
其架構：
輸入 x[n] → FIR 濾波器 → 輸出 y[n]
↓
誤差 e[n] = d[n] - y[n]
↓
更新濾波器係數
• x[n]：輸入
• y[n]：濾波器輸出
• d[n]：期望輸出（希望得到的答案）
• e[n]：誤差（用來調整濾波器）
自適應濾波器透過誤差回饋，持續調整係數，使濾波器自動學習並逼近期望輸出。
濾波器係數更新公式：
⭐ w(n+1) = w(n) + μ · e(n) · x(n)
根據當前的誤差大小與輸入訊號方向，逐步修正濾波器係數，使輸出誤差最小化。
其中：
• w(n)：濾波器當前係數
• μ：步階大小（learning rate）
• e(n)：誤差訊號
• x(n)：輸入向量
是不是像 梯度下降（Gradient Descent）？
沒錯！LMS 就是 signal processing 版本的梯度下降。
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🧠 二、LMS 在通訊中的用途（非常重要！）
✔ 1. 通道估測（Channel Estimation）
OFDM 通道會變，必須追蹤：
h_est(n+1) = h_est(n) + μ · e(n) · x*(n)
→ 這就是 LMS 的精神。
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✔ 2. 多路徑抵銷（Equalization）
ZF/MMSE 是固定等化器
但移動中（高速鐵路、LEO 衛星）
需要 Adaptive Equalizer：
• LMS Equalizer
• DFE-LMS（Decision Feedback Equalizer）
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✔ 3. 回音消除（Echo Cancellation）
電話、VoIP、Zoom
全部用 LMS。
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✔ 4. 降噪（Noise Cancellation）
把環境噪音當參考 x[n]
LMS 自動學出反相信號抵銷噪音。
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✔ 5. LEO/NTN 的 Doppler 追蹤
衛星速度 → 7.5 km/s
通道係數變化極快
LMS 可用於：
• Carrier tracking
• Timing tracking
• Pilot-based channel update
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🧠 三、LMS 更新公式的直覺理解
濾波器更新：
w ← w + μ * (誤差) * (輸入訊號)
=> 若輸出太小 → 誤差正 → w 增大
=> 若輸出太大 → 誤差負 → w 減小
=> 用 x[n] 決定更新方向
LMS 透過誤差回饋，自動調整係數大小與方向，使輸出逐步逼近期望值。
LMS 其實是：
⭐「用最簡單的方式做梯度下降」
→ 不需要計算複雜梯度
→ 用一個樣本估算平均梯度
這是「最廉價」的機器學習演算法。
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🧠 四、步階 μ 為 LMS 的靈魂
μ 太大 → 收斂快，但會發散
μ 太小 → 穩定，但學得超慢
公式規範：
0 < μ < 1 / (3 * Px)
Px = x[n] 的平均功率
（非常常見的 DSP 面試題！）
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🧠 五、ASCII 動圖風示意：濾波器如何「自己學」
初始化：
h = [0, 0, 0, 0]
看到第一個誤差：
e > 0 → h↑
h = [0.1, 0.05, -0.02, 0]
第二個誤差：
e < 0 → h↓
h = [0.08, 0.03, -0.01, -0.02]
多次學習後：
h = [0.48, -0.12, 0.83, -0.31]
變成強大濾波器。
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🧠 六、延伸：NLMS（Normalized LMS）
為改善步階 μ 的問題，NLMS 使用：
w(n+1) = w(n) + μ · e(n) · x(n) / (||x||² + ε)
優點：
• 收斂更穩
• 不怕輸入功率變動
• 5G/6G 通道估測常用
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🧩 七、電信工程師模擬題
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1️⃣ 專業題
為什麼 LMS 不需要通道模型也能做等化？
答：
因為 LMS 透過輸入 x[n] 與誤差 e[n] 即可更新濾波器係數，實質上是進行 online 梯度下降，因此不需要先知道通道轉移函數。
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2️⃣ 應用題
若 LMS 演算法發散，最可能原因是什麼？
A. 濾波器階數不夠
B. μ 選太大
C. 輸入信號太弱
D. 輸入信號是實數
✔ 正確答案：B
(因為步階大小 μ 選得太大，導致係數更新過猛而發散。)
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3️⃣ LEO 衛星情境題
高速 Doppler 變化時，LMS 的 μ 應該：
A. 變大
B. 變小
C. 固定
D. 設為 0
✔ 正確答案：A
（通道變快 → 濾波器要更快跟上 → 步階要變大）
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🛠 八、實務演練
1️⃣ 實作 LMS Channel Estimation（Python）
2️⃣ 用 LMS 製作 ANC（Active Noise Cancellation）
3️⃣ OFDM + LMS Equalizer
4️⃣ LEO/NTN Doppler Tracking（Pilot LMS）
5️⃣ 比較 LMS / NLMS / RLS 的差異
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✅ 九、小結與啟示
✔ LMS 是「自動學習的 FIR 濾波器」
✔ 依靠誤差更新 → 不需要通道模型
✔ 步階 μ 決定收斂速度與穩定性
✔ NLMS 是更穩定版本
✔ 工程界大量應用在：
通道估測、等化、ANC、回音消除、同步補償
✔ 在 LEO/NTN 中，LMS 是追蹤快速變動通道的最佳工具之一
一句話：
⭐ LMS = 通訊工程界最簡單、最萬用、最耐操的「會自己學的濾波器」。
