導讀：所有線性模型，都是暫時的
線性化從來不是宣告：
👉 世界是線性的而是承認：
👉 在很小的一段範圍內，我們假裝它是線性的
真正的工程問題是：
👉 這個「很小」到底有多小？
一、什麼叫「可信範圍」？
局部線性模型可信的前提是：
👉 高次項的影響遠小於一階項
工程語言：
👉 二階效應必須很小
二、用泰勒展開看誤差來源
完整展開：
f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + ½ f″(a)(x − a)² + …
線性模型只保留：
f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a)
主要誤差來自：
½ f″(a)(x − a)²
三、工程版誤差判斷法
當：
| ½ f″(a)(x − a)² / [ f′(a)(x − a) ] | ≪ 1
則線性化可接受。
直覺化後：
👉 |x − a| 要夠小
四、曲率決定可信半徑
• 曲率小 → 可用範圍大
• 曲率大 → 可用範圍小
高度非線性系統：
👉 幾乎沒有可用線性區
五、工程實例
放大器
小訊號：線性
大訊號：失真
馬達
低速：線性
高速：磁飽和
六、線性模型最危險的錯誤
❌ 拿小訊號模型跑大範圍
❌ 忽略飽和與限幅
❌ 不做驗證
七、工程師實務做法
• 分段線性化
• 加安全裕度
• 模擬驗證
八、工程版一句話總結
線性模型可信的不是公式，
而是「範圍」。
九、本單元你應該建立的直覺
✔ 問半徑
✔ 問曲率
✔ 問飽和
🔜 下一單元預告
💡 14／60 工程中最常見函數的微分直覺整理
